Question

Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer:
{ x + 2y − z = 3
2x − y + 3z = 6
x + y − 2z = 1

Answer 1

⠀⠀Resolvendo o sistema linear pela regra de Cramer encontramos que seu conjunto solução é: S = {(2 , 1 , 1)}.

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Considerações

⠀⠀A regra de Cramer é um método não muito utilizado por ser um pouco extenso, sendo usado para resolver sistemas de equações 3x3, porém, é um método muito interessante por envolver os determinantes. A relação que essa regra estabelece com o conjunto solução de um sistema linear 3x3 — considerando x, y e z as incógnitas — é:

            $\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}S=\bigg\{\bigg(x=\dfrac{Dx}{D}~,~~y=\dfrac{Dy}{D}~,~~z=\dfrac{Dz}{D}\bigg)\bigg\}\end{array}}$

⠀⠀Onde D: é o determinante formado pelos coeficientes das equações; Dx: é o mesmo determinante D porém com a primeira coluna trocada pelos termos independentes; Dy: é o determinante D só que com a segunda coluna trocada pelos termos independentes; e Dz: é o determinante D mas com a terceira coluna trocada pelos termos independentes.

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• E como se calcula um determinante?

⠀⠀Basta usarmos a regra de Sarrus — utilizada justamente para encontrar o resultado de determinantes 3x3 — onde repetimos as duas colunas iniciais e fazemos a diferença da soma do produto da diagonal principal pela soma do produto da diagonal secundária.

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Voltando à questão

⠀⠀O sistema linear que temos para resolver utilizando a regra de Cramer é o seguinte:

                                         $\quad\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\begin{cases}x+2y-z=3\\2x-y+3z=6\\x+y-2z=1\end{cases}\end{array}}$

⠀⠀Diante do supradito, o determinante D será formado com base nos coeficientes das equações. Veja que esses coeficientes são:

                                            $\qquad\large\begin{array}{l}\begin{cases}\boxed{1}x+\boxed{2}y\,\boxed{-\,1}z=3\\\boxed{2}x\,\boxed{-\,1}y+\boxed{3}z=6\\\boxed{1}x+\boxed{1}y\,\boxed{-2}z=1\end{cases}\end{array}$

                           (Já os termos independentes são 3, 6 e 1).

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⠀⠀Logo, o determinante D terá o seguinte formato:

$\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}1&~~~~2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1&~~~~3\\1&~~~~1&~~~~\!\!\!\!\!\!-2\end{array}\right|\end{array}}$

⠀⠀E diante do supramencionado, usemos a regra de Sarrus:$\large\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}1&~~~~2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1&~~~~3\\1&~~~~1&~~~~\!\!\!\!\!\!-2\end{array}\right|~\begin{matrix}1&~~~~2\\2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\1&~~~~1\end{matrix}\\\\D=1.(-1).(-2)+2.3.1+(-1).2.1-[(-1).(-1).1+1.3.1+2.2.(-2)]\\\\D=2+6-2-(1+3-8)\\\\D=6-(-\,4)\\\\D=6+4\\\\\!\boldsymbol{\boxed{D=10}}\end{array}$⠀

⠀⠀Agora nós iremos calcular os outros determinantes.

⠀⠀Dx é o determinante D com a primeira coluna comutada pelos termos independentes, então:

$\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}Dx=\left|\begin{array}{ccc}3&~~~~2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\6&~~~~\!\!\!\!\!\!-1&~~~~3\\1&~~~~1&~~~~\!\!\!\!\!\!-2\end{array}\right|\end{array}}$

⠀⠀Pela regra de Sarrus:$\large\begin{array}{l}Dx=\left|\begin{array}{ccc}3&~~~~2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\6&~~~~\!\!\!\!\!\!-1&~~~~3\\1&~~~~1&~~~~\!\!\!\!\!\!-2\end{array}\right|~\begin{matrix}3&~~~~2\\6&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\1&~~~~1\end{matrix}\\\\Dx=3.(-1).(-2)+2.3.1+(-1).6.1-[(-1).(-1).1+3.3.1+2.6.(-2)]\\\\Dx=6+6-6-(1+9-24)\\\\Dx=6-(-\,14)\\\\Dx=6+14\\\\\!\boldsymbol{\boxed{Dx=20}}\end{array}$⠀

⠀⠀Agora Dy tem a segunda coluna comutada pelos termos independentes:

$\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}Dy=\left|\begin{array}{ccc}1&~~~~3&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\2&~~~~6&~~~~3\\1&~~~~1&~~~~\!\!\!\!\!\!-2\end{array}\right|\end{array}}$

⠀⠀Pela regra de Sarrus:$\large\begin{array}{l}Dy=\left|\begin{array}{ccc}1&~~~~3&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\2&~~~~6&~~~~3\\1&~~~~1&~~~~\!\!\!\!\!\!-2\end{array}\right|~\begin{matrix}1&~~~~3\\2&~~~~6\\1&~~~~1\end{matrix}\\\\Dy=1.6.(-2)+3.3.1+(-1).2.1-[(-1).6.1+1.3.1+3.2.(-2)]\\\\Dy=-\,12+9-2-(-\,6+3-12)\\\\Dy=-\,5-(-\,15)\\\\Dy=-\,5+15\\\\\!\boldsymbol{\boxed{Dy=10}}\end{array}$

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⠀⠀E por fim, Dz tem a terceira coluna comutada pelos termos independentes:

$\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}Dz=\left|\begin{array}{ccc}1&~~~~2&~~~~3\\2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1&~~~~6\\1&~~~~1&~~~~\!\!\!\!\!\!-2\end{array}\right|\end{array}}$

⠀⠀Pela regra de Sarrus:$\large\begin{array}{l}Dz=\left|\begin{array}{ccc}1&~~~~2&~~~~3\\2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1&~~~~6\\1&~~~~1&~~~~1\end{array}\right|~\begin{matrix}1&~~~~2\\2&~~~~\!\!\!\!\!\!-1\\1&~~~~1\end{matrix}\\\\Dz=1.(-1).1+2.6.1+3.2.1-[3.(-1).1+1.6.1+2.2.1]\\\\Dz=-\,1+12+6-(-\,3+6+4)\\\\Dz=17-(7)\\\\Dz=17-7\\\\\!\boldsymbol{\boxed{Dz=10}}\end{array}$

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⠀⠀E assim se encerra a resolução, pois com os valores de todos esses determinantes será possível encontrar os valores das incógnitas. Veja que o conjunto solução desse sistema será:

                               $\\\large\boldsymbol{\begin{array}{c}x=\dfrac{Dx}{D}~,~~y=\dfrac{Dy}{D}~,~~z=\dfrac{Dz}{D}\\\\x=\dfrac{20}{10}~,~~y=\dfrac{10}{10}~,~~z=\dfrac{10}{10}\\\\x=2~,~~y=1~,~~z=1\\\\\therefore~~\boxed{S=\Big\{\Big(2~,~1~,~1\Big)\Big\}}\end{array}}$

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