Question

-Números Complexos. Expresse a em função de b, de maneira que o número complexo z=a-3i / 5+bi seja : a) Real  b) Imaginário puro


passo a passo, por favor. URGENTE!

Answer 1

a) Para que z = x + yi seja real, devemos ter y = 0, anulando a parte imaginária. Multiplicando z pelo conjugado de seu denominador de forma que não altere a expressão, obtemos:

$z = \frac{a - 3i}{5 + bi} \\ z = \frac{a - 3i}{5 + bi} \times \frac{5 - bi}{5 - bi} \\ z = \frac{5a - abi -15i - 3b}{25 + b^2} \\ z = \frac{5a - 3b}{25 + b^2} - \frac{abi +15i}{25 + b^2} \\ z = \frac{5a - 3b}{25 + b^2} - \frac{(ab +15)}{25 + b^2}i$

Anulando a parte imaginária, temos:

$\frac{ab + 15}{25 + b^2} = 0 \\ ab + 15 = 0 \\ ab = -15 \\ a = -\frac{15}{b}.$

Portanto,
$z = \left( \frac{-75}{b} - 3b \right) \times \frac{1}{25 + b^2} \\ z = -\frac{3}{b} \times \frac{25 + b^2}{25 + b^2} \\ z = - \frac{3}{b} .$

b) Neste caso, para z = x + yi, será necessário fazer x = 0, logo:

$\frac{5a - 3b}{25 + b^2} = 0 \\ 5a - 3b = 0 \\ 5a = 3b \\ a = \frac{3b}{5}.$

O que resulta em:

$z = - \frac{(ab +15)}{25 + b^2}i \\ z = - \frac{1}{5} \frac{(3b^2 +75)}{25 + b^2}i \\ z = - \frac{3}{5} \times \frac{(25 + b^2)}{(25 + b^2)}i \\ z = - \frac{3}{5}i.$

A maior parte da questão é algebrismo. Espero ter ajudado!