Question

Integral de Cos³xdx

A resolução só é aceita pelo metódo de integração por partes (udv).

A resposta citada no livro é: Cos²x Senx + 2Sen³x/3 +C

Answer 1

Vamos reescrever o integrando assim:


∫cos²(x)*cos(x)dx ao invés de ∫cos³(x)dx

entao teremos:

∫cos²(x)*cos(x)dx

fazendo cos²x = u e cos(x) = dv ficamos:

u = cos²x
du = -2cos(x)*sen(x)dx


dv = cos(x)

∫dv = ∫cos(x)dx
v = sen(x)


então

 ∫cos³(x) = u*v - ∫vdu

 .....  = cos²(x)*sen(x) -∫sen(x)[-2*cos(x)*sen(x)]dx

Aplicando a distributiva ficamos:

 ∫cos³xdx = cos²x*senx +∫2Sen²x*Cosxdx



Fazendo as seguintes substituição: 

T = Sen(x)

dt = Cos(x)dx

Entao ficamos:

∫cos³xdx = cos²x*senx +∫2*T²*dt

Temos uma integral da potencia:

∫T²dt =  $\frac{T^2^+^1}{2+1} = \frac{T^3}{3}$


Substituindo T pela substituição inicial feita ficamos que:

$\frac{T^3}{3} = \frac{Sen^3x}{3}$

∫Cos³xdx = $cos^2x*senx + 2* \frac{sen^3x}{3}$


+ K