Question

Resolva a EDO: dy/dx = (y^2 -2xy)/x^2​

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2-2xy}{x^2}$

Separe a fração como uma soma de frações:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{2xy}{x^2}$

Simplifique a segunda fração por um fator $x,~x\neq0$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{2y}{x}$

Some $\dfrac{2y}{x}$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2y}{x}=\dfrac{y^2}{x^2}$

Esta é uma Equação de Bernoulli, que assume a forma $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, neste caso, com $n=2$.

Devemos realizar uma substituição $y=z^{1-n}$ de modo que tenhamos $n=0$:

$y=z^{1-2}\\\\\\ y=z^{-1}$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(z^{-1})$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=\dfrac{d}{dy}(y(x))\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia:

$\dfrac{d}{dy}(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dz}(z^{-1})\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Aplique a regra da potência

$1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=(-1)\cdot z^{-1-1}\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{dy}{dx}=-z^{-2}\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Substituindo estes termos na equação diferencial, teremos:

$-z^{-2}\cdot \dfrac{dz}{dx}+\dfrac{2\cdot z^{-1}}{x}=\dfrac{(z^{-1})^2}{x^2}$

Calcule a potência à esquerda da igualdade

$-z^{-2}\cdot \dfrac{dz}{dx}+\dfrac{2\cdot z^{-1}}{x}=\dfrac{z^{-2}}{x^2}$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $(-z^2)$

$\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{2\cdot z}{x}=-\dfrac{1}{x^2}$

Agora, podemos utilizar o método do fator integrante para resolver esta equação. Consiste em calcular uma função $\mu(x)$ tal que vale a igualdade: $y\cdot \mu(x)=\displaystyle{\int Q(x)\cdot \mu(x)\,dx}$. Esta função pode ser calculada pela fórmula $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Substituindo $P(x)=-\dfrac{2}{x}$, calculamos o fator integrante

$\mu(x)=e^{\int -\frac{2}{x}\,dx}$

Calculamos a integral no expoente:

$\displaystyle{\int-\dfrac{2}{x}\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A seguinte integral é um caso particular da regra da potência e é imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique a linearidade e calcule a integral imediata

$\displaystyle{-2\cdot\int\dfrac{1}{x}\,dx}\\\\\\\ -2\cdot\ln|x|$

Reescreva a expressão utilizando a propriedade de logaritmos: $c\cdot \log_a(b)=\log_a(b^c),~0<a\neq1,~b>0$.

$\ln|x^{-2}|$

Visto que a expressão em módulo é estritamente positiva, fazemos:

$\ln(x^{-2})$

Assim, teremos:

$\mu(x)=e^{\ln(x^{-2})}$

Aplique a propriedade de logaritmos: $a^{\log_a(b)}=b,~0<a\neq1,~b>0$, sabendo que $\ln(x)=\log_e(x)$

$\mu(x)=x^{-2}$

Multiplique ambos os lados da equação pelo fator integrante:

$x^{-2}\cdot\left(\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{2\cdot z}{x}\right)=x^{-2}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$

Escrevendo $x^{-2}=\dfrac{1}{x^2},~x\neq0$, efetuamos a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{1}{x^2}\cdot\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{2\cdot z}{x^3}\right)=-\dfrac{1}{x^4}$

Reescreva o lado esquerdo da igualdade utilizando a regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x^2}\cdot z\right)=-\dfrac{1}{x^4}$

Integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x^2}\cdot z\right)\,dx=\int-\dfrac{1}{x^4}\,dx}$

Para resolver estas integrais, lembre-se que:

• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(f(x))\,dx=f(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral de uma potência pode ser calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique a linearidade, o TFC e a regra da potência

$\dfrac{1}{x^2}\cdot z=-\dfrac{x^{-4+1}}{-4+1}+C$

Some os valores no expoente e denominador e multiplique os termos

$\dfrac{1}{x^2}\cdot z=-\dfrac{x^{-3}}{-3}+C\\\\\\ \dfrac{1}{x^2}\cdot z=\dfrac{1}{3x^3}+C$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $x$

$z=\dfrac{1}{3x}+Cx^2$

Some as frações e faça $3C=K$, uma constante arbitrária

$z=\dfrac{1+Kx^3}{3x}$

Desfaça a substituição $y=z^{-1}$

$y=\left(\dfrac{1+Kx^2}{3x}\right)^{-1}\\\\\\ \Large{\boxed{y=\dfrac{3x}{Kx^3+1},~K\in\mathbb{R}}$