Question

Não estou conseguindo resolver essa questão

Answer 1

              Integral  impropria.

                                 Definição:

 

Se      $\int\limits^t_a {f(x)}dx \,$    existe  para  cada  número  $t\geq a$ , então:

                     $\boxed{\int\limits^ \infty_a {f(x)}dx \,= \lim_{t \to \infty} .\int\limits^t_a {f(x)}dx \,}$

Com essa definição vamos resolver a seguinte integral:

                          $\boxed{\boxed{\int\limits^\infty_0 {e^{(t-1)x}} \, dx }}$

Usando:

                  $\boxed{\int\limits^ \infty_a {f(x)}dx \,= \lim_{t \to \infty} .\int\limits^t_a {f(x)}dx \,}$

Teremos:

                  $\boxed{\int\limits^\infty_0 {e^{(t-1)x}} \, dx= \lim_{n \to \infty} \int\limits^n_0 {e^{(t-1)x}} \, dx}$

                                                                                                                               

                    $\boxed{\lim_{n \to \infty} \int\limits^n_0 {e^{(t-1)x}} \, dx}$

     

               $\boxed{ \int\limits^n_0 {e^{(t-1)x}} \, dx}=\boxed{\int\limits^n_0 e^{xt-x} \, dx }$  

         $u= xt-x$    ;    $du =(t-1).dx$   ⇔    $\frac{du}{t-1} =dx$

               Substitui  $u$  e  $du$   na  integral.

                 $\boxed{\boxed{\int\limits^n_0 {e^{u}} \, \frac{1}{t-1} du = \frac{1}{t-1.} \int\limits^n_0 {e^{u}} \,du}}$

              Vamos  usar a seguinte regra:

              $\boxed{\int\limits {e^{u}} \, du= e^{u}+C}$

Logo teremos ( usando o teorema fundamental do calculo):

                          $\boxed{\frac{1}{t-1}\left[e^u\right]^n_0}$

Calculando os limites:

=

$\frac{1}{t-1} .e^n-1=\frac{e^n-1}{t-1}$

 =    $\boxed{\boxed{\frac{e^n-1}{t-1} }}$

Agora  vamos calcular o limite:

$\boxed{\lim_{n \to \infty} \int\limits^n_0 {e^{(t-1)x}} \, dx}=\boxed{ \lim_{n \to \infty} \frac{e^n-1}{t-1} }$

Teremos:

$\boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{e^n-1}{t-1}}= \boxed{\frac{1}{t-1}. \lim_{n \to \infty} e^n-1 }=\boxed{\frac{1}{t-1}( \lim_{n \to \infty} e^n - \lim_{n \to \infty} 1) }=\frac{1}{t-1} .(\infty-1)$

$\frac{1}{t-1} .(\infty-1)$  é obviamente indefinido.

Resposta:

indefinido.