Question

As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Considere, por exemplo, uma matriz , de ordem , em que os elementos têm a seguinte lei de formação: Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. Na matriz A, o elemento é igual ao elemento
II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
III. Se a matriz B é , então o produto B. A é a matriz -B.
IV. Sendo a matriz I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1. Está coorreto o que afirma em :
II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
I, II e III, apenas.
II, III e IV, apenas.

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Vamos iniciar essa questão montando a matriz A, através da lei de formação dada, que foi:

$\sf{A}=\left\{\begin{matrix}\sf{1,~se~i\ne j} & \\ \sf{0,~se~i=j}& \end{matrix}\right.$

Antes de iniciarmos, vamos ver qual é a forma de uma matriz de ordem 4, bem como marcar em quais elementos i = j e i ≠ j :

$\sf{A}=\begin{vmatrix} \bf{a_{11}}& \sf{a_{12}} & \sf{a_{13}} & \sf{a_{14}} \\ \sf{a_{21}}& \bf{a_{22}} & \sf{a_{23}} & \sf{a_{24}} \\ \sf{a_{31}} & \sf{a_{32}} & \bf{a_{33}} & \sf{a_{34}} \\ \sf{a_{41}} & \sf{a_{42}} & \sf{a_{43}} & \bf{a_{44}}\end{vmatrix}$

Na matriz genérica acima, podemos observar que os elementos que estão na diagonal principal possuem o elemento i = j, ou seja, terão valor 0. De forma análoga, os elementos que não estão na diagonal principal, possuem o elemento i ≠ j, ou seja, terão valor 1. Desse modo, teremos que a matriz A será da seguinte forma:

$\sf{A}=\begin{vmatrix} \bf{0}& \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \bf{0} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \bf{0} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} & \bf{0}\end{vmatrix}$

Com a matriz A em mãos, podemos então analisar cada uma das alternativas dadas. Vejamos:

I). Na matriz A, o elemento a₃₁ é igual ao elemento a₁₃ : VERDADEIRO. Para comprovar isso, basta observar a matriz A que foi construída e verá que os elementos em questão são iguais a 1.

II). Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos :

VERDADEIRO. Para comprovar isso, basta observar a matriz A que foi construída.

III). Se a matriz B é [1 1 1 - 1], então o produto B · A é a matriz - B:

FALSO. Vejamos abaixo o motivo de ser falso:

$\sf{B\cdot A=\begin{vmatrix} \sf{1}&\sf{1} &\sf{1} &\sf{-1}\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} \sf{0}& \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{0} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{0} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} & \sf{0}\end{vmatrix}}\\ \\ \\ \sf{B\cdot A=\begin{vmatrix} \sf{1}&\sf{1} &\sf{1} &\sf{3}\end{vmatrix}~\ne~ \sf{\begin{vmatrix} \sf{1}&\sf{1} &\sf{1} &\sf{-1}\end{vmatrix}}}\\ \\ B\cdot A\ne-B$

IV). Sendo I a matriz identidade de ordem 4, então a matriz A + I possui todos os elementos iguais a 1 : VERDADEIRO. Vejamos abaixo o motivo de ser verdadeiro:

$\sf{A+I=\begin{vmatrix} \sf{0}& \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{0} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{0} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} & \sf{0}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \sf{1}& \sf{0} & \sf{0} & \sf{0} \\ \sf{0} & \sf{1} & \sf{0} & \sf{0} \\ \sf{0} & \sf{0} & \sf{1} & \sf{0} \\ \sf{0} & \sf{0} & \sf{0} & \sf{1}\end{vmatrix}}$

$\sf{A+I=\begin{vmatrix} \sf{1}& \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} \\ \sf{1} & \sf{1} & \sf{1} & \sf{1}\end{vmatrix}}$

Ou seja, apenas os itens I, II e IV são verdadeiros.

Alternativa B é a correta!!

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!

Answer 2

Resposta:

I, II e IV, apenas.

Explicação passo a passo:

Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma:

image0785e3af19e_20211113003954.gif

Assim, percebemos que o elementoimage0795e3af19e_20211113003954.gif Também pode ser verificado que a matriz tem a diagonal principal igual a zero. Se multiplicarmos essa matriz por B, teremos:

image0805e3af19e_20211113003955.gif=image0815e3af19e_20211113003955.gif

Ou seja, a matriz não será -B. Por fim, se somarmos A+I, teremos

image0825e3af19e_20211113003955.gif.