Question

Valendo 20 pontos!!!(coloque os calculos)Um grupo de alunos de uma mesma turma resolveram
comprar um pacote de dados para acesso à internet por R$
48,00 ao mês, dividindo o custo igualmente entre eles.
Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divisão,
cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais
R$ 0,40 para a compra do referido pacote.
Qual a porcentagem de alunos da turma que contribuíram
para a compra do pacote?
a) 60%.
b) 65%.
c) 75%.
d) 80%.
e) 85%.

Answer 1

O preço do pacote de dados é $\mathrm{R\ ~}48,00$ por mês, a ser dividido igualmente entre certa quantidade de alunos do grupo.


$\bullet\;\;$ Se a quantidade inicial de alunos é $x,$ então o preço a ser pago por cada aluno inicialmente é $\dfrac{48}{x}.$

$\bullet\;\;$ Após a desistência de $6$ alunos, restaram $x-6$ alunos no grupo. Logo, o preço pago por cada um dos alunos restantes é

$\dfrac{48}{x-6}$


$\bullet\;\;$ Como o enunciado informa, o valor pago por cada aluno após a desistência daqueles seis, é $\mathrm{R\ ~}0,40$ maior do que seria pago por cada um inicialmente:

$\dfrac{48}{x-6}=\dfrac{48}{x}+0,40\\ \\ \\ \dfrac{48}{x-6}-\dfrac{48}{x}=0,40$


Podemos reescrever o número racional $0,40$ como uma fração ordinária:

$\dfrac{48}{x-6}-\dfrac{48}{x}=\dfrac{2}{5}$


$\bullet\;\;$ Vamos resolver a equação acima, com as seguintes restrições:

$x>0\;\;\text{ e }\;\;x\neq 6.$

$x$ é uma quantidade de alunos e não pode ser negativa. As restrições acima também garantem que os denominadores não se anulem.


Resolvendo a equação,

$\dfrac{48}{x-6}-\dfrac{48}{x}=\dfrac{2}{5}$


Reduzindo o lado esquerdo ao mesmo denominador,

$\dfrac{48x-48\cdot (x-6)}{(x-6)\cdot x}=\dfrac{2}{5}\\ \\ \\ \dfrac{48x-48x+288}{(x-6)\cdot x}=\dfrac{2}{5}\\ \\ \\ \dfrac{288}{(x-6)\cdot x}=\dfrac{2}{5}\\ \\ \\ \dfrac{288}{x^{2}-6x}=\dfrac{2}{5}\\ \\ \\ 2\cdot (x^{2}-6x)=288\cdot 5\\ \\ 2x^{2}-12x=1\,440\\ \\ 2x^{2}-12x-1\,440=0\\ \\ 2\cdot (x^{2}-6x-720)=0\\ \\ x^{2}-6x-720=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\b=-6\\c=-720 \end{array} \right.$


$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-720)\\ \\ \Delta=36+2\,880\\ \\ \Delta=2\,916\\ \\ \Delta=54^{2}\\ \\ \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{54^{2}}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ x=\dfrac{6\pm 54}{2}\\ \\ \\ x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (3\pm 27)}{\diagup\!\!\!\! 2}\\ \\ \\ x=3\pm 27$


$\begin{array}{rcl} x=3+27&\;\text{ ou }\;\;&x=3-27\\ \\ x=30&\;\text{ ou }\;\;&x=-24\;\;\text{(n\~{a}o serve, pois }x>0\text{)}\\ \\ &x=30& \end{array}$


Logo, o grupo tinha $30$ alunos inicialmente.


$\bullet\;\;$ A porcentagem de alunos que contribuíram para a compra do pacote foi

$\dfrac{x-6}{x}\cdot 100\%\\ \\ \\ =\dfrac{30-6}{30}\cdot 100\%\\ \\ \\ =\dfrac{24}{30}\cdot 100\%\\ \\ \\ =\dfrac{4}{5}\cdot 100\%\\ \\ \\ =\dfrac{4\cdot 100\%}{5}\\ \\ \\ =4\cdot 20\%\\ \\ =80\%$


Resposta: alternativa $\text{d) }80\%.$