Question

Calcule a integral tripla da função f(x,y,z)=z limitada por 0≤x≤1 , 0≤y≤2 e 0≤z≤3

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos calcular a seguinte integral tripla $\displaystyle{\iiint_Tf(x,~y,~z)\,dV}$, onde $T$ é o paralelepípedo cujas dimensões são determinadas pelos intervalos numéricos $0\leq x\leq1,~0\leq y\leq2$ e $0\leq z\leq3$.

De acordo com o Teorema de Fubini, a ordem de integração não se altera pois todos os limites são numéricos. Fazendo $dV=dz\,dy\,dx$, temos:

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^2\int_0^3z\,dz\,dy\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da potência na integral mais interna:

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^2\dfrac{z^{1+1}}{1+1}~\biggr|_0^3\,dy\,dx}$

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^2\dfrac{z^{2}}{2}~\biggr|_0^3\,dy\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1\int_0^2\left(\dfrac{3^{2}}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)\,dy\,dx}$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^2\left(\dfrac{9}{2}-0\right)\,dy\,dx}\\\\\\\displaystyle{\int_0^1\int_0^2\dfrac{9}{2}\,dy\,dx}$

Aplique a linearidade

$\dfrac{9}{2}\cdot\displaystyle{\int_0^1\int_0^21\,dy\,dx}$

Aplique a regra da potência na integral mais interna

$\dfrac{9}{2}\cdot\displaystyle{\int_0^1\dfrac{y^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^2\,dx}$

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

$\dfrac{9}{2}\cdot\displaystyle{\int_0^1y~\biggr|_0^2\,dx}\\\\\\ \dfrac{9}{2}\cdot\displaystyle{\int_0^12-0\,dx}\\\\\\ \dfrac{9}{2}\cdot\displaystyle{\int_0^12\,dx}$

Aplique a linearidade e multiplique os termos

$\displaystyle{9\cdot\int_0^1\,dx}$

Aplique a regra da potência

$9\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

$9\cdot x~\biggr|_0^1\\\\\\ 9\cdot(1-0)\\\\\\ 9~\bold{u.~v}$

Este é o resultado desta integral tripla.