Question

a) Imagine um prisma de base hexagonal e responda à pergunta: Qual é o menor número de
cores que você pode usar para pintar as faces desse prisma de modo que duas faces vizinhas
não apresentem a mesma cor? E se o prisma tiver base pentagonal? Faça suas conjecturas. Em seguida, isole esse prisma do conjunto dos outros sólidos e investigue se suas conjecturas estavam corretas.

b) Agora, considere um prisma que não pertence às classes de sólidos disponíveis, por exemplo, um prisma cuja base é um polígono de 12 lados. Qual é o número mínimo de cores para que duas faces vizinhas não tenham a mesma cor? E se esse prisma tivesse como base um polígono de 13 lados?

c) E se, nos itens a e b, houvesse pirâmides em vez de prismas? Quantas cores seriam necessárias em cada caso?

Answer 1

Resposta:

=> Temos a planificação do cubo, vamos atribuir números ás cores a utilizar  

    | 1 |

| 2 | 1  | 3 | 3 |

    | 2  |

...quando unir as faces do cubo vai ter as faces opostas com as cores:

Face (cor 1) ----> oposta a Face (cor 2)  

Face (cor 2) ----> oposta a Face (cor 3)  

Face (cor 3) ----> oposta a Face (cor 1)  

Esta é apenas uma das possibilidades de resolução ..há mais!

...por exemplo podemos pintar até 3 faces com uma cor (desde que as faces não se oponham) depois podemos utilizar em mais 2 faces uma segunda cor ..e na face restante a terceira cor.

...ou fazer cada 2 faces com uma cor permutando as faces ..com as 3 cores  de modo a que nenhuma fique oposta á outra

De qualquer dos modos a quantidade minima de cores será sempre de 3 cores

.........

O texto do exercício está um pouco "confuso" ..penso que além da restrição das faces opostas terem de ter cores diferentes ...há uma segunda restrição de os lados comuns (na planificação) terem de ter também cores diferentes..

Sendo assim esta situação remete-nos para a  1º hipótese de resolução:

...por exemplo podemos pintar até 3 faces com uma cor (desde que as faces não se oponham) depois podemos utilizar em mais 2 faces uma segunda cor ..e na face restante a terceira cor ....e não utilizando a mesma cor em quadrados com um lado comum.

Donde resultaria (por exemplo):

    | 3 |

| 3 | 1  | 2 | 3 |  

    | 2  |

...Assim os quadrados com lado comum não tem a mesma cor (tanto na vertical como na horizontal) ...e as faces opostas tem cores diferentes também!!

.....novamente as mesmas possibilidades de um mínimo de 3 cores

 

Espero ter ajudado