Question

Determine a função y(x) que satisfaz as condições y'(x) = (2x - 3)√x² - 3x, y(- 1) = 3.

Answer 1

.Temos as seguintes informações:

$y'(x) = (2x - 3) \sqrt{x {}^{2} - 3x} \: , \: y( - 1) = 3$

Isso se trata de um problema de valor inicial, onde devemos primeiro separar as variáveis e após isso aplicar a integral:

$\frac{dy}{dx} = (2x - 3) \sqrt{x {}^{2} - 3x} \: \: \: \: \: \\ \\ dy = (2x - 3) \sqrt{x {}^{2} - 3x } \: dx$

Aplicando a integral em ambos os lados:

$\int dy = \int(2x - 3) \sqrt{x {}^{2} - 3x } \: dx \\ y = \int(2x - 3) \sqrt{x {}^{2} - 3x} \: dx$

Para resolver essa integral dx vamos usar o método da substituição de variável. Digamos que u = x² - 3x, agora vamos derivar essa função:

$u = x {}^{2} - 3x \: \to \: \frac{du}{dx} = 2x - 3 \\ du = 2x - 3 \: dx$

Substituindo essas informações na integral:

$y = \int du \sqrt{u} \: \to \: \: y = \int u {}^{ \frac{1}{2} } du \\ y = \frac{u {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1} \: \to \: y = \frac{u {}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } \: \to \: y = \frac{2}{3} u {}^{ \frac{3}{2} } + k$

Repondo a função que representa u:

$y = \frac{2}{3} (x {}^{2} - 3x) {}^{ \frac{3}{2} } + k$

Como a questão informou, y(-1) = 3, ou seja, quando x = 1, y = 3, então:

$3 = \frac{2}{3} (( - 1) {}^{2} - 3.( - 1)) {}^{ \frac{3}{2} } + k \: \to \: \: 3 = \frac{2( 4) {}^{ \frac{3}{2} }}{3} + k \\ \\ 3 = \frac{16}{3} + k \: \to \: \: k = 3 - \frac{16}{3} \\ \\ k = - \frac{ 7}{3}$

Portanto a solução geral é:

$\boxed{y = \frac{2}{3}(x {}^{2} - 3x) {}^{ \frac{3}{2} } - \frac{7}{3} }$

Espero ter ajudado