Question

1- É dado que f(x)>0, para todo x real, f(1)=3 e f(u+v)=f(u) . f(v), para quaisquer números reais u e v. Calcule: 
c) F(0) 
d) f(-1)

Answer 1

c) Pra descobrir o valor de f(0) façamos u=v=0:

$f(0+0)=f(0).f(0) \Rightarrow f(0)=f(0)^2\Rightarrow f(0)[f(0)-1]=0 \\ \\ f(0)=0 \ \mathrm{ou} \ f(0)=1$

Como f(x)>0 para todo x temos, em particular, que f(0)>0, portanto ficamos com o valor maior que 0 dos que foram encontrados acima, ou seja:

$\boxed{\boxed{f(0)=1}}$

d) Se agora fizermos u=1 e v = -1 teremos o seguinte:

$f(1+(-1))=f(1).f(-1)\Rightarrow f(0)=3.f(-1)\Rightarrow 3f(-1)=1 \\ \\ \boxed{\boxed{f(-1)=\frac13}}$