Question

Calcule a área da região limitada pelas curvas f(x) = x³ + 2x - 1 e g(x) = 3x - 1.​

Answer 1

Antes de tudo igualamos as funções para descobrir os valores de "x" onde as duas funções se cruzam (são iguais):

$x^3+2x-1=3x-1$

$x^3+2x-3x=-1+1$

$x^3-x=0$

$x^3=x$

$x_1=-1$

$x_2=0$

$x_3=1$

Existem duas regiões limitadas por estas duas funções (veja o gráfico no final da resposta) a primeira vai de x=-1 até x=0 e a outra vai de x=0 até x=1.

Vamos calcular cada uma individualmente e depois basta somá-las para obter a área total das regiões limitadas por estas funções.

Observando o gráfico vemos que a função f(x) (representada pela linha rosa) está por cima na região entre -1 e 0. Então:

$Area1=\int\limits^0_{-1} {x^3+2x-1-3x+1} \, dx$

$Area1=\int\limits^0_{-1} {x^3-x} \, dx$

$Area1=(\frac{0^4}{4} -\frac{0^2}{2} )-(\frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^2}{2})$

$Area1=(0 -0 )-(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})$

$Area1=0-(\frac{1}{4}-\frac{2}{4})$

$Area1=0-(-\frac{1}{4})$

$Area1=\frac{1}{4}$

Observando o gráfico novamente vemos que a função g(x) (representada pela linha roxa) está por cima na região entre 0 e 1. Então:

$Area2=\int\limits^1_0 {3x-1-x^3-2x+1} \, dx$

$Area2=\int\limits^1_0 {x-x^3} \, dx$

$Area2=(\frac{1^2}{2}-\frac{1^4}{4})-(\frac{0^2}{2}-\frac{0^4}{4})$

$Area2=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})-(0-0)$

$Area2=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}$

$Area2=\frac{1}{4}$

Agora basta somarmos as duas áreas encontradas para obtermos a área total das regiões limitadas por estas curvas:

$AreaTotal=Area1+Area2$

$AreaTotal=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

$AreaTotal=\frac{2}{4}$

$AreaTotal=\frac{1}{2}$