Question

Use a derivação implícita para determinar dy/dx na função abaixo:

x + xy + 3x² = 7​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(x+xy+3x^2)=\dfrac{d}{dx}(7)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))+\dfrac{d}{dx}(g(x))$ e $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{d}{dx}(f(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre duas funções contínuas e deriváveis é calculada pela regra do produto: $\dfrac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}(g(x))$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=\dfrac{d}{dy}(y(x))\cdot \dfrac{dy}{dx}$.

Aplique a linearidade

$\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(xy)+3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)=7\cdot\dfrac{d}{dx}(1)$

Aplique a regra do produto e da cadeia

$\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(x)\cdot y+x\cdot\dfrac{d}{dx}(y)+3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)=7\cdot\dfrac{d}{dx}(1)\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(x)\cdot y+x\cdot\dfrac{d}{dy}(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}+3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)=7\cdot\dfrac{d}{dx}(1)$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$ e $1=x^0$

$1\cdot x^{1-1}+1\cdot x^{1-1}\cdot y+x\cdot1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}+3\cdot2\cdot x^{2-1}=7\cdot0\cdot x^{0-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$1+y+x\cdot\dfrac{dy}{dx}+6x=0$

Subtraia $1+y+6x$ em ambos os lados da igualdade

$x\cdot\dfrac{dy}{dx}=-1-y-6x$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $x,~x\neq0$

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1+y+6x}{x}$

Esta é a derivada implícita desta função.