Question

O que significa "derivar"... bem, eu sei derivar, no cálculo, regras de derivação e tudo... mas não sei o q significa derivar... o que está se fazendo ali? Alguém entendeu? rs o.O

Answer 1

Analisemos a seguinte situação:

Considere uma função $f$ definida em um intervalo aberto $I,$ e $x_{0}\in I.$


Como a função está definida em um intervalo aberto, existe algum outro ponto $x_{1}\in I,$ tal que

$x_{1}=x_{0}+h\;\;\;\;\;\text{ com }h \neq 0.$


Então, temos dois pontos distintos de um intervalo em que a $f$ está definida.


$\bullet\;\;$ O que significa este quociente?

$\dfrac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}=\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$


Este quociente mede a taxa de variação média da função, quando $x$ varia de $x_{0}$ até $x_{1}.$


O valor deste quociente não leva em conta como a função se comporta entre $x_{0}$ e $x_{1},$ apenas o que ocorre nas extremidades.


Este quociente tem um nome especial, chama-se razão incremental:

$\dfrac{\Delta f}{h}(x_{0},\;h)=\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$


sendo $h$ o incremento:

$h=x_{1}-x_{0}.$


Graficamente, o valor da razão incremental é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos

$(x_{0},\;f(x_{0}))\;\;\text{ e }\;\;(x_{0}+h,\;f(x_{0}+h)).$

do plano cartesiano, sendo que ambos os pontos acima estão no gráfico de $f.$


Note que para o cálculo da razão incremental, precisamos necessariamente de dois pontos distintos do domínio de $f.$ 


$\bullet\;\;$ O que acontece com a razão incremental quando os pontos $x_{1}$ e $x_{0}$ ficam "muito próximos" um do outro?


Intuitivamente, queremos saber o que acontece com o valor de $\dfrac{\Delta f}{h}(x_{0},\;h),$ quando o incremento $h$ se aproxima de zero


(Lembre-se que $h$ nunca pode assumir o valor zero, mas podemos fazer $h$ chegar tão próximo de zero quanto se queira).


A derivada de $f$ em $x_{0}$ nada mais é do que o valor que a razão incremental tende a assumir, quando o incremento $h$ tende a zero:

$f'(x_{0})=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$


Note que, diferentemente da razão incremental, é necessário apenas um ponto $x_{0}$ do domínio para o cálculo da derivada; de forma que seja possível calcular o limite acima.


Então, podemos interpretar a derivada como uma forma de medir a taxa de variação instantânea de $f$ em cada ponto.


Graficamente, a derivada de $f$ em $x_{0}$ representa o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_{0},$ A reta tangente passa pelo ponto $(x_{0},\;f(x_{0}))$ no plano cartesiano.