Question

Considere as inequações dadas por: fx)= x-2x+10 g(x) -2x+3x+2<_ 0
Sabendo-se que Aéo conjunto solução de fx) eBoconjunto solução de g(x), então o conjunto Y= A unido B​

Answer 1

Resolução:

Primeira inequação:

f(x) = x² - 2x + 1 ≤ 0

• Essa é uma função do segundo grau na forma ax² + bx + c, onde:

a = 1

b = -2

c = 1

• Determinando as raízes da função:

$x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$x=\frac{-(-2)+-\sqrt{(-2)^{2}-4.1.1 } }{2.1}$

$x=\frac{2+-\sqrt{4-4} }{2}$

$x=\frac{2+-\sqrt{0} }{2}$

$x=\frac{2+-0}{2}$

$x_{1} =\frac{2+0}{2}=1$

$x_{2}=1$

• Construindo o gráfico, a parábola terá concavidade para cima, pois a > 0. O único ponto em que a parábola toca no eixo x é onde fica o número 1.

Portanto, f(x) ≤ 0 quando x = 1

Conjunto solução: A = {1}

Segunda inequação:

g(x) = -2x² + 3x + 2 ≥ 0

• Coeficientes:

a = -2

b = 3

c = 2

• Determinando as raízes:

$x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$x=\frac{-3+-\sqrt{3^{2}-4.-2.2 } }{2.-2}$

$x=\frac{-3+-\sqrt{9+16} }{-4}$

$x=\frac{-3+-\sqrt{25} }{-4}$

$x=\frac{-3+-5}{-4}$

$x_{1} =\frac{(-3)+5}{-4}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$

$x_{2} =\frac{(-3)-(5)}{-4}=\frac{-8}{-4}=2$

• Gráfico com concavidade virada para baixo, pois a < 0. Desse modo, g(x) será maior ou igual a zero no intervalo compreendido entre as raízes (-1/2 e 2).

Portanto, g(x) ≥ 0 quando -1/2 ≤ x ≤ 2

Conjunto solução: B = {-1/2, 2}

A questão informa que o conjunto Y = A ∩ B, ou seja, Y é o conjunto de todos os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

⇒ O conjunto A é unitário, possuindo como elemento apenas o número 1.

⇒ O conjunto B possui elementos compreendidos no intervalo -1/2 até 2.

→ Isso quer dizer que o número 1 está inserido no conjunto B, pois está nesse intervalo.

Logo:

Y = A ∩ B

Y = {x ∈ R | x = 1}