Question

Utilizando a técnica de análise de malhas, calcule os valores de I1, I2 e I3 no circuito:

Answer 1

Este método de análise de circuitos elétricos se baseia na Lei de Kirchhoff das Tensões, que nos diz que o somatório das elevações e quedas de tensão em um caminho fechado do circuito (malha) é nulo, ou seja, resulta em 0 (zero).

O método das malhas consiste em introduzir uma corrente de malha para cada malha simples presente no circuito e aplicar a LKT nestas malhas.

1. Identificando as Malhas Simples.

Como mencionado anteriormente, uma malha é um caminho fechado do circuito por onde poderá circular uma corrente e uma malha simples é uma malha que não tenha outras malhas internas.

Observe no desenho anexado que temos três malhas, mas apenas as duas em azul são simples, a outra, em vermelho, é uma malha dita composta.

2. Introdução das Correntes de Malha

Precisamos agora introduzir as correntes de malha e indicar um sentido para elas (horário ou anti-horário) para podermos começar a análise. É importante salientar que esse sentido das correntes é de livre escolha não afetará o resultado final. Novamente, observando a figura anexada à resolução, perceba que o sentido adotado para ambas correntes (i₁ e i₂) foi o horário.

3. Relacionar as correntes de malha às correntes I₁, I₂ e I₃

Fica fácil de notar que a corrente I₁ é a própria corrente de malha i₁ e que a corrente I₃ é a corrente de malha i₂.

$\boxed{\begin{array}{ccc}\sf I_1&\sf =&\sf i_1\\\sf I_3&\sf =&\sf i_2\end{array}}$

Já a corrente I₂, precisamos ter um pouco mais de atenção. Perceba que esta corrente é uma "composição" das duas correntes de malha. Observe que o ramo percorrido por I₂ é percorrido por i₁, de cima para baixo, e por i₂, de baixo para cima. Dessa forma, utilizando o princípio da superposição, I₂ é dada por:

$\boxed{\sf I_2~=~i_1-i_2}$

4. Aplicação da LKT

$\sf Malha~1:\\\\\\+20~-~0,5\cdot I_1~-~0,5\cdot I_2~-~20~-~0,5\cdot I_2~-~1\cdot I_1~-~0,5\cdot I_1~=~0\\\\-~0,5I_1~-~I_1~-~0,5I_1~-~0,5I_2~-~0,5I_2~+~20~-~20~=~0\\\\-2I_1~-~I_2~=~0\\\\2I_1~+~I_2~=~0~~~~~~\Longleftarrow~\boxed{\sf I_1=i_1~,~I_2=i_1-i_2}\\\\2\cdot i_1~+~(i_1-i_2)~=~0\\\\\boxed{\sf 3i_1-i_2~=~0}$

$\sf Malha~2:\\\\\\+20~-~0,5\cdot (-I_2)~-~3\cdot I_3~-~6~-~1\cdot I_3~-~0,5\cdot (-I_2)~=~0\\\\0,5I_2~-~3 I_3~-~ I_3~+~0,5I_2~+~20~-~6~=~0\\\\I_2~-~4 I_3~+~14~=~0~~~~~~\Longleftarrow~\boxed{\sf I_3=i_2~,~I_2=i_1-i_2}\\\\(i_1-i_2)~-~4\cdot i_2~=\,-14\\\\\boxed{\sf i_1~-~5i_2~=\,-14}$

5. Determinação das correntes

Em posse das duas equações de malha, podemos agora utilizar qualquer método de resolução de sistemas de equação (adição, substituição, Cramer ...) para calcular o valor das correntes de malha. Como sistemas de equação não são o foco desta resolução, vou omitir estes cálculos e apresentar os resultados que deverão ser obtidos.

$\boxed{\begin{array}{ccc}\sf i_1&\sf =&\sf 1~A\\\sf i_2&\sf =&\sf 3~A\end{array}}$

Por fim, podemos calcular o valor das correntes I₁, I₂ e I₃:

$\sf I_1~=~i_1~~~\Rightarrow~\boxed{\sf I_1~=~1~A}\\\\\\\sf I_2~=~i_1-i_2~=~1-3~~~\Rightarrow~\boxed{\sf I_2~=\,-2~A}\\\\\\\sf I_3~=~i_2~~~\Rightarrow~\boxed{\sf I_3~=~3~A}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$