Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam? (obs:prova da OBMEP, preciso urgente!!!! respostas certas por favor)
A)6)
B)5
C)4
D)3
E)2
Respostas
As formiguinhas se encontram em cinco pontos distintos.
Uma circunferência completa tem 360 graus, que equivale a 2 duas voltas de 180 °, sabe-se que uma volta é 180° e em radianos terá o valor de π rad.
Temos assim que uma volta equivale a 360 graus
Uma formiga deu 6 voltas: 6*360 = 2.160°
Outra formiga de 9 voltas: 9 * 360 = 3.240°
Vamos denominar o comprimento da circunferência com L
Quando a formiga A dá 9 voltas a outra completa a sexta volta, obtemos assim:
Va / Vb = 9/6 = 2/3
dA / dB = 9/6 = 2/3
Enquanto fA percorre 360º, fA percorre 2/3 de 360º = 240º
S1 = 0 + 360t (1)
S2 = 360 – 240t (2)
No momento do encontro, teremos a posição das formigas iguais ( S1 = S2 )
360t = 360-240t
360t + 240t = 360
600t = 360
t = 360/600 = 3/5
Para saber onde se deu o 1º encontro basta substituir 3/5 na equação (1):
S1 = 360*t
360*3/5
216º
Dessa forma, obtemos que elas se encontrarão a cada 216°
1º Encontro: 216º a partir da origem
2º Encontro: 216º + 216º = 2*216º = 432º ( 360° + 72°)
3º Encontro: 432º + 216º = 3*216º = 648º ( 360° + 288°
4º Encontro: 648+ 216º = 4*216º = 864º ( 360° + 360° + 144°)
5º Encontro: 864+216º = 5*216º = 1080º ( 360° + 360° + 360° )
6º Encontro: 1080º + 216º = 6*216 = 1296º ( 360° + 360° + 360° + 216°) a partir desse ponto se encontram em posições iguais.
7º Encontro: : 1296° + 216 = 7 * 216 = 1512° ( 4 voltas + 72 ° ) a partir desse ponto se encontram em posições iguais.
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