Question

x+2y-z=2
2x-y+z=3
x+y+z=6 Qual o resultado dessa equação linear?

Answer 1

Resolverei de duas formas:

1º) Resolvendo o sistema

$\begin{cases} x+2y-z=2 \\ 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6 \end{cases}$

Eliminando a incógnita x da terceira equação.
Multiplicamos toda a terceira equação por -2 e somamos membro a membro com a segunda equação:

$\begin{cases} 2x-y+z=3 \\ -2x-2y-2z=-12 \end{cases}\\ \\ \\ 2x-2x-y-2y+z-2z=3-12\\ \\ -3y-z=-9$


Eliminando a incógnita x da segunda equação.
Multiplicamos toda a primeira equação por -2 e somamos membro a membro com a segunda equação:

$\begin{cases} -2x-4y+2z=-4 \\ 2x-y+z=3 \end{cases}\\ \\ \\ -2x+2x-4y-y+2z+z=-4+3\\ \\ -5y+3z=-1$


Agora o sistema fica assim:

$\begin{cases} x+2y-z=2 \\ -5y+3z=-1 \\ -3y-z=-9 \end{cases}$


Vamos agora eliminar a incógnita z no novo sistema e obteremos o valor de y. 
Multiplicamos a terceira equação por 3 e somamos membro a membro com a segunda equação:

$\begin{cases} -5y+3z=-1 \\ -9y-3z=-27 \end{cases}\\ \\ \\ -5y-9y+3z-3z=-1-27\\ \\ -14y=-28\\ \\ y=\dfrac{-28}{-14}=2$


Agora que temos o valor de y, vamos substituí-lo na terceira equação e encontrar o valor de z:

$-3\cdot 2-z=-9\\ -6-z=-9\\ -z=-9+6\\ -z=-3\\ z=3$


Já temos os valores de y e z. Agora vamos substituí-los na terceira equação do sistema original e obteremos o valor de x:

$x+y+z=6\\ x+3+2=6\\ x+5=6\\ x=6-5\\ x=1$


Portanto, os valores das incógnitas são: x = 1; y = 2 e z = 3.



2º) Resolvendo com Matriz pelo método de Cramer:

Calculando o Determinante do Sistema pela Regra de Sarrus:

$\begin{cases} x+2y-z=2 \\ 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6 \end{cases}$


$D_{S}=\begin{vmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & -1\\ 1 & 1 \end{array}$


Multiplicando a Diagonal Principal:

$1\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 2\cdot 1\cdot 1\ +\ \left(-1\cdot 2\cdot 1\right)=-1+2-2=-1$

Multiplicando da Diagonal Secundária:

$\left(-1)\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 1\cdot 1\cdot 1\ +\ 2\cdot 2\cdot 1=1+1+4=6$

$D_{S}=-1-6=-7$


Agora substitui a primeira coluna pelos valores localizados depois das igualdades (termos independentes) e calcular o determinante:

$D_{x}=\begin{vmatrix}2 & 2 & -1\\ 3 & -1 & 1\\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 2 & 2\\ 3 & -1\\ 6 & 1 \end{array}$


Multiplicando a Diagonal Principal:

$2\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 2\cdot 1\cdot 6\ +\ \left(-1\right)\cdot 3\cdot 1=-2+12-3=7$

Multiplicando da Diagonal Secundária:

$\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 6\ +\ 2\cdot 1\cdot 1\ +\ 2\cdot 3\cdot 1=6+2+6=14$

$D_{x}=7-14=-7$


Agora substitui a segunda coluna pelos valores localizados depois das igualdades (termos independentes) e calcular o determinante:

$D_{y}=\begin{vmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 6 & 1 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3\\ 1 & 6 \end{array}$


Multiplicando a Diagonal Principal:

$1\cdot 3\cdot 1\ +\ 2\cdot 1\cdot 1\ +\ \left(-1\right)\cdot 2\cdot 6=3+2-12=-7$

Multiplicando a Diagonal Secundária:

$\left(-1\right)\cdot 3\cdot 1\ +\ 1\cdot 1\cdot 6\ +\ 2\cdot 2\cdot 1=-3+6+4=7$

$D_{y}=-7-7=-14$


Agora substitui a terceira coluna pelos valores localizados depois das igualdades (termos independentes) e calcular o determinante:

$D_{z}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 2\\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & -1\\ 1 & 1 \end{array}$


Multiplicando a Diagonal Principal:

$1\cdot \left(-1\right)\cdot 6\ +\ 2\cdot 3\cdot 1\ +\ 2\cdot 2\cdot 1=-6+6+4=4$

Multiplicando a Diagonal Secundária:

$2\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 1\cdot 3\cdot 1\ +\ 2\cdot 2\cdot 6=-2+3+24=25$

$D_{z}=4-25=-21$


Agora aplicando a regra de Cramer para achar os valores das incógnitas:

$x=\dfrac{D_{x}}{D_{S}}=\dfrac{-7}{-7}=1\\ \\ \\ y=\dfrac{D_{y}}{D_{S}}=\dfrac{-14}{-7}=2\\ \\ \\ z=\dfrac{D_{z}}{D_{S}}=\dfrac{-21}{-7}=3$


Encontramos os mesmos valores: x = 1; y = 2 e z = 3.

Answer 2

• Temos três equações:

x + 2y - z = 2

2x - y + z = 3

x + y + z = 6

Resolução por Regra de Cramer:

Vamos seguir o algoritmo para obter o resultado.

• Montar uma matriz com os coeficientes que multiplicam as incógnitas:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{array}\right]$

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (D) dessa matriz.

1    2   -1    1    2

2   -1    1    2   -1

1    1    1     1    1

Multiplicando as diagonais:

$D = +[1.(-1).1 + 2.1.1 + (-1).2.1] - [(-1).(-1).1 + 1.1.1 + 2.2.1]$

$D = +[-1 + 2 - 2] - [1 + 1 + 4]$

$D = +[-1] - [6]$

$D = -1 - 6$

$\Longrightarrow \boxed{D = -7}\Longleftarrow$

(determinante da matriz dos coeficientes)

• Montar uma matriz dos coeficientes, só que substituindo a coluna dos termos que multiplicam o x pelos termos independentes:

$\left[\begin{array}{ccc}2&2&-1\\3&-1&1\\6&1&1\end{array}\right]$

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (Dx) dessa matriz.

2    2   -1   2    2

3   -1    1     3   -1

6   1     1     6  1

$Dx = +[2.(-1).1 + 2.1.6 + (-1).3.1] - [(-1).(-1).6 + 2.1.1 + 2.3.1]$

$Dx = +[-2 + 12 - 3] - [6 + 2 + 6]$

$Dx = +[7] - [14]$

$\Longrightarrow \boxed{Dx = -7}\Longleftarrow$

• Montar uma matriz dos coeficientes, só que substituindo a coluna dos termos que multiplicam o y pelos termos independentes:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&3&1\\1&6&1\end{array}\right]$

1    2   -1     1  2

2   3    1     2   3

1    6    1     1  6

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (Dy) dessa matriz.

$Dy = +[1.3.1 + 2.1.1 +(-1).2.6] - [1.3.(-1) +6.1.1 + 1.2.2]$

$Dy = +[3 + 2 - 12] - [-3+6+4]$

$Dy = -7 - 7$

$\Longrightarrow \boxed{Dy = -14}\Longleftarrow$

• Montar uma matriz dos coeficientes, só que substituindo a coluna dos termos que multiplicam o z pelos termos independentes:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&-1&3\\1&1&6\end{array}\right]$

1    2    2    1    2

2   -1    3    2   -1

1    1     6    1    1

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (Dz) dessa matriz.

$Dz = +[1.(-1).6+2.3.1+2.2.1]-[1.(-1).2+1.3.1+6.2.2]$

$Dz = +[-6 + 6 + 4]-[-2+3+24]$

$Dz = 4 - 25$

$\Longrightarrow \boxed{Dz = -21}\Longleftarrow$

• Cálculo do x:

$\boxed{x = \frac{Dx}{D}}$

$x = \frac{-7}{-7}$

$x = 1$

• Cálculo do y:

$\boxed{y = \frac{Dy}{D}}$

$y = \frac{-14}{-7}$

$y = 2$

• Cálculo do z:

$\boxed{z = \frac{Dz}{D}}$

$z = \frac{-21}{-7}$

$z = 3$

• Resposta:

x = 1

y = 2

z = 3

Espero ter ajudado. :)

• Aprenda mais em:

==> Sistemas Lineares:

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==> Determinante:

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