Question

Determinar um vetor v, ortogonal ao eixo 0z, que satisfaz as condições v.v1=10 e v.v2=-5 sendo v1= (2,3,-1) e v2=(1,-1,2).

Answer 1

$\vec{v_{1}}=\left(2,3,-1\right)\\ \\ \vec{v_{2}}=\left(1,-1,2\right)\\ \\ \vec{v}\cdot \vec{v_{1}}=10\\ \\ \vec{v}\cdot \vec{v_{2}}=-5$

$\vec{v}=(x,y,z)$


Como v é ortogonal ao eixo 0z, então:

$\vec{v}\cdot k=0\\ \\ \left(x,y,z\right)\left(0,0,1\right)=0\ \Rightarrow 0+0+z=0\ \Rightarrow z=0$

Temos:
$\vec{v}=(x,y,0)$


$\vec{v}\cdot \vec{v_{1}}=10\ \Rightarrow \left(x,y,0\right)\left(2,3,-1\right)=10\\ \\ 2x+3y+0=10\\ \\ 2x+3y=10\ \left(I\right)$


$\vec{v}\cdot \vec{v_{2}}=-5\ \Rightarrow \left(x,y,0\right)\left(1,-1,2\right)=-5\\ \\ x-y+0=-5\\ \\ x-y=-5\\ \\ x=-5+y\ \left(II\right)$


Substituindo II em I:

$2x+3y=10\ \Rightarrow 2\left(-5+y\right)+3y=10\\ \\ -10+2y+3y=10\ \Rightarrow 5y=20\ \Rightarrow y=\dfrac{20}{5}=4\ \left(III\right)$


Substituindo III em II:

$x=-5+y\ \Rightarrow x=-5+4=-1$


Assim o vetor v é:

$\vec{v}=\left(-1,4,0\right)$

Answer 2

O vetor v é v = (-1,4,0).

Considere que temos dois vetores u = (x,y,z) e v = (x',y',z').

O produto escalar ou produto interno é definido por:

• u.v = x.x' + y.y' + z.z'.

Além disso, vale ressaltar que dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar é igual a zero.

Vamos considerar que o vetor v é igual a v = (a,b,c).

De acordo com o enunciado, v é ortogonal ao eixo Oz. A direção do eixo Oz é u = (0,0,1). Sendo assim:

a.0 + b.0 + c.1 = 0

c = 0.

Ou seja, o vetor v é da forma v = (a,b,0).

Como v.v₁ = 10 e v₁ = (2,3,-1), então:

a.2 + b.3 + 0.(-1) = 10

2a + 3b = 10.

Como v.v₂ = -5 e v₂ = (1,-1,2), então:

a.1 + b.(-1) + 0.2 = -5

a - b = -5.

Com isso, obtemos o seguinte sistema linear:

{2a + 3b = 10

{a - b = -5.

Da segunda equação, podemos dizer que a = b - 5.

Substituindo o valor de a na primeira equação:

2(b - 5) + 3b = 10

2b - 10 + 3b = 10

5b = 20

b = 4.

Consequentemente:

a = 4 - 5

a = -1.

Portanto, podemos concluir que o vetor v é v = (-1,4,0).

Exercício sobre vetor: https://brainly.com.br/tarefa/18110616