Question

SOCORRO, me ajudem por favor!

Calcule o valor de p = cos1° + cos 2° + cos 3° + . . . + cos 177° + cos 178° + cos 179°.

Answer 1

Olá, Nibastos.

 

Primeiramente, observemos o seguinte resultado:

 

$<var>\cos(180\º-\theta)=\cos180\º\cos\theta-\underbrace{\sin180\º}_{=0}\sin\theta=-\cos\theta \Rightarrow\\\\ \boxed{\cos\theta+\cos(180\º-\theta)=\cos\theta-\cos\theta=0}\text{ (i)}</var>$

 

Guarde bem este resultado, pois vamos utilizá-lo daqui a pouco.

 

Agora, vamos reagrupar a soma do enunciado da seguinte forma:

 

$p=<var>\cos1\° + \cos 2\° + \cos 3\° + . . . + \cos 177\° + \cos 178\° + \cos 179\°=\\\\ =(\cos1\° + \cos 179\°) + (\cos 2\° + \cos 178\°) + (\cos 3\° + \cos 177\°) + \\\\ + ... + (\cos89\º+\cos91\º)+\cos90\º</var>$

 

Vamos utilizar aqui, agora, o resultado que obtivemos em (i):

 

$p<var>=\underbrace{(\cos1\° + \cos 179\°)}_{=0} + \underbrace{(\cos 2\° + \cos 178\°)}_{=0} + \underbrace{(\cos 3\° + \cos 177\°)}_{=0} + \\\\ + ... + \underbrace{(\cos89\º+\cos91\º)}_{=0}+\cos90\º</var>$

 

Sobra apenas, então:

 

$<var>p=\cos90\º \Rightarrow \boxed{p=0}</var>$