Quantos divisores positivos tem o número:
A) 120? B) 3780 C) 48^5.15^6?
sugestão: faça a decomposição em fatores primos
Respostas
O número 120 tem 16 divisores, o número 3 780 tem 48 divisores e o número 48⁵ . 15⁶ tem 1 764 divisores.
Divisores de Um Número
Vale observar que a tarefa pede apenas a quantidade de divisores dos números, não pede pra enumerá-los. Para saber quantos divisores tem um número começamos por fatorar este número. Depois escrevemos este número na forma fatorada com os fatores na forma de potência. Aos expoentes de cada potência somamos uma unidade. Depois multiplicamos o resultado desta soma.
A) 120
Fatorando
120 : 2
60 : 2
30 : 2
15 : 3
5 : 5
1
Escrevendo na Forma Fatorada : 2³ . 3¹ . 5¹
Somando 1 unidade ao expoente: 2³⁺¹ . 3¹⁺¹ . 5¹⁺¹ = 2⁴ . 3² . 5²
Multiplicando os expoentes: 4 . 2 . 2 = 16
O número 120 tem 16 divisores.
B) 3780
Fatorando
3 780 : 2
1 890 : 2
945 : 3
315 : 3
105 : 3
35 : 5
7 : 7
1
Forma Fatorada: 2² . 3³ . 5 . 7
Somando 1 ao expoente: 2²⁺¹ . 3³⁺¹ . 5¹⁺¹ . 7¹⁺¹ = 2³ . 3⁴ . 5² . 7²
Multiplicando os expoentes: 3 . 4 . 2. 2 = 48
C) 48⁵.15⁶
Forma Fatorada: 48⁵ . 15⁶
Somando 1 ao expoente: 48⁵⁺¹ . 15⁶⁺¹ = 48⁶ . 15⁷
Fatorando o 48 e o 15:
48 : 2 15 : 3
24 : 2 5 : 5
12 : 2 1
6 : 2
3 : 3
1 48 = 2⁴. 3¹ 15 = 3¹ . 5¹
(2⁴ . 3¹)⁵ . (3¹ . 5¹)⁶ = 2²⁰ . 3⁵ . 3⁶ . 5⁶ = 2²⁰ . 3⁶⁺⁵. 5⁶ = 2²⁰ . 3¹¹ . 5⁶
Somando 1 aos expoentes: 2²⁰⁺¹ . 3¹¹⁺¹ . 5⁶⁺¹ = 2²¹ . 3¹² . 5⁷
Multiplicando os expoentes: 21 . 12 . 7 = 1 764
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