Question

A noção de diferencial torna mais preciso o conceito de taxa de variação e nos auxilia no estudo das equações diferenciais e, consequentemente, no da integral indefinida.  Assinale a alternativa que representa a diferencial de y = x4 - 21x:
A - (4x3 - 12) dx
B - (4x3 - 21) dx
C - (4x4 - 12) dx
D - (4x4 - 21) dx
E - (x3 - 21) dx ​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Primeiro, diferenciamos ambos os lados da igualdade:

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^4-21x)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y(x))=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y(x))\cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))+\dfrac{d}{dx}(g(x))$ e $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot \dfrac{d}{dx}(f(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia e a linearidade

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y)\cdot\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^4)-21\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x)$

Aplique a regra da potência

$1\cdot y^{1-1}\cdot\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4\cdot x^{4-1}-21\cdot1\cdot x^{1-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$1\cdot y^{0}\cdot\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4\cdot x^{3}-21\cdot1\cdot x^{0}\\\\\\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4x^{3}-21$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $\mathrm{d}x$

$\mathrm{d}y=(4x^3-21)\,\mathrm{d}x$

Este é o resultado que buscávamos e é a resposta contida na letra b).