Question

Se 1 – 3x, x – 2 e 2x+1 formam, nesta ordem, uma PA, calcule x e a razão da PA

Answer 1

Consideramos que:

$a_1 = 1 - 3 \cdot x$

$a_2 = x - 2$

$a_3 = 2 \cdot x + 1$

O termo geral da progressão pode ser escrito da seguinte maneira:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Onde:

$a_n$ é o n-ésimo termo da progressão;

$a_1$ é o primeiro termo;

$n$ é o número de termos e;

$r$ é a razão da progressão.

Assim:

$a_2 = a_1 + r$

$a_3 = a_1 + 2 \cdot r$

Substituindo:

$a_1 = 1 - 3 \cdot x$

$a_1 + r = x - 2$

$a_1 + 2 \cdot r = 2 \cdot x + 1$

Temos três incógnitas ($a_1, r\text{ e } x$) e três equações. Um sistema possível e determinado.

Vou resolver por substituição.

Na segunda equação acima, substituo $a_1$ por $1 - 3 \cdot x$:

$1 - 3 \cdot x + r = x - 2$

$r = x + 3 \cdot x - 2 - 1$

$r = 4 \cdot x - 3$

Na terceira equação eu substituo $r$ por $4 \cdot x - 3$ e $a_1$ por $1 - 3 \cdot x$:

$a_1 + 2 \cdot r = 2 \cdot x + 1$

$1 - 3 \cdot x + 2 \cdot (4 \cdot x - 3) = 2 \cdot x + 1$

Resolvendo para x:

$-3 \cdot x + 8 \cdot x - 2 \cdot x = 1 - 1 + 6$

$3 \cdot x = 6$

$x = \dfrac{6}{3}$

$\boxed{x = 2}$

Com isso, conseguimos calcular r:

$r = 4 \cdot x - 3$

$r = 4 \cdot 2 - 3$

$r = 8 - 3$

$\boxed{r = 5}$

E também o primeiro termo:

$a_1 = 1 - 3 \cdot x$

$a_1 = 1 - 3 \cdot 2$

$a_1 = 1 -6$

$a_1 = -5$

Ou seja, o termo geral da P.A. será:

$a_n = -5 + (n - 1) \cdot 5$

E os três primeiros termos: -5, 0, 5.