Question

Calcule o valor da soma. Obrigada a quem ajudar.

n
∑ [Cn,k]/(k+1)
k=0
Obs. Cn,k --> significa combinação de n elementos tomados k a k.

Answer 1

Relembrando algumas propriedades do somatório:

$\mathbf{(P1)~~}\displaystyle\sum\limits_{k=p}^{q}[f(k)-f(k-1)]=f(q)-f(p-1)\\ \\ \\ \mathbf{(P2)~~}\sum\limits_{k=0}^{n}f(k)=\sum\limits_{k=0}^{n}f(n-k)$


Obs.: (P1) é conhecida como propriedade telescópica do somatório.

ATENÇÃO: para que (P2) seja válida, necessariamente o limite inferior do somatório deve ser $0$ e o limite superior deve ser $n.$


Lembremos também da simetria dos números binomiais complementares:

$\mathbf{(P3)~~}\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\,,\;\;\;0\leq k\leq n.$


$\bullet\;\;$ Obter uma forma fechada para um somatório não é sempre uma tarefa fácil. Ás vezes, temos que arriscar certos artifícios e torcer para que encontremos o resultado desejado. Ainda bem que aqui, eu consegui via soma telescópica.


$\bullet\;\;$ Obter uma forma fechada para o somatório

$S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{k}\cdot\dfrac{1}{k+1}}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Consideremos a seguinte sequência numérica $(a_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ dada pela seguinte lei de formação:

$a_{k}=\dbinom{n}{k}\,,~~~~\text{com } 1\leq k\leq n.$


Calculemos a diferença entre dois termos consecutivos da sequência acima:

$\underset{k}{\Delta}(a_{k})=a_{k}-a_{k-1}\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}-\dbinom{n}{k-1}\\ \\ \\ =\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}-\dfrac{n!}{(k-1)!\cdot [n-(k-1)]!}\\ \\ \\ =\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}-\dfrac{n!}{(k-1)!\cdot [(n-k)+1]!}\\ \\ \\ =\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}-\dfrac{n!}{(k-1)!\cdot [(n-k)+1]\cdot (n-k)!}$


Multiplicando o numerador e o denominador da segunda fração por $k>0,$ temos

$=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}-\dfrac{k\cdot n!}{k\cdot (k-1)!\cdot [(n-k)+1]\cdot (n-k)!}\\ \\ \\ =\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}-\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\cdot \dfrac{k}{(n-k)+1}\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}-\dbinom{n}{k}\cdot \dfrac{k}{(n-k)+1}\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}\cdot \left[1-\dfrac{k}{(n-k)+1} \right ]\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}\cdot \left[1+\dfrac{-k}{(n-k)+1} \right ]$


Para simplificar a fração dentro dos colchetes, vamos adicionar e subtrair $(n+1)$ ao numerador:

$=\dbinom{n}{k}\cdot \left[1+\dfrac{n+1-k-(n+1)}{(n-k)+1} \right ]\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}\cdot \left[1+\dfrac{(n-k)+1-(n+1)}{(n-k)+1} \right ]\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}\cdot \left[1+\dfrac{(n-k)+1}{(n-k)+1}-\dfrac{n+1}{(n-k)+1} \right ]\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}\cdot \left[1+1-\dfrac{n+1}{(n-k)+1} \right ]\\ \\ \\ =\dbinom{n}{k}\cdot \left[2-\dfrac{n+1}{(n-k)+1} \right ]\\ \\ \\ =2\cdot \dbinom{n}{k}-(n+1)\cdot \left[\dbinom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1} \right ]$


Usando $\mathbf{(P3)}$ no segundo número binomial, temos

$=2\cdot \dbinom{n}{k}-(n+1)\cdot \left[\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1} \right ]$


Resumindo, temos que

$\dbinom{n}{k}-\dbinom{n}{k-1}=2\cdot \dbinom{n}{k}-(n+1)\cdot \left[\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1} \right ]~~~~~\mathbf{(ii)}$

com $1\leq k\leq n.$


$\bullet\;\;$ Aplicando somatório de $1$ até $n$ aos dois lados em $\mathbf{(ii)},$ temos

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\dbinom{n}{k}-\dbinom{n}{k-1} \right ]=2\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{\dbinom{n}{k}}-(n+1)\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}$


A soma do lado esquerdo é telescópica. Logo, por $\mathbf{(P1)},$ temos

$\displaystyle\dbinom{n}{n}-\dbinom{n}{1-1}=2\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{\dbinom{n}{k}}-(n+1)\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}\\ \\ \\ \dbinom{n}{n}-\dbinom{n}{0}=2\cdot \left[\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{k}}-\dbinom{n}{0} \right ]-(n+1)\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}\\ \\ \\ 1-1=2\cdot (2^{n}-1)-(n+1)\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}\\ \\ \\ 0=2\cdot (2^{n}-1)-(n+1)\cdot\left[\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}-\dbinom{n}{n-0}\cdot \dfrac{1}{(n-0)+1} \right ]$

$\displaystyle 0=2\cdot (2^{n}-1)-(n+1)\cdot\left[\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}-\dfrac{1}{n+1} \right ]\\ \\ \\ 0=2\cdot (2^{n}-1)-(n+1)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}+(n+1)\cdot \dfrac{1}{n+1}\\ \\ \\ 0=2\cdot (2^{n}-1)-(n+1)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}+1\\ \\ \\ (n+1)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}=2\cdot (2^{n}-1)+1\\ \\ \\ \sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{n-k}\cdot \dfrac{1}{(n-k)+1}}=\dfrac{2\cdot (2^{n}-1)+1}{n+1}$


Utilizando $\mathbf{(P2)}$ no somatório do lado esquerdo, podemos reescrevê-lo como

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{k+1}}=\dfrac{2\cdot (2^{n}-1)+1}{n+1}\\ \\ \\ \sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{k+1}}=\dfrac{2\cdot 2^{n}-2+1}{n+1}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\dbinom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{k+1}}=\dfrac{2^{n+1}-1}{n+1} \end{array}}$