Question

Escreva a equação da reta tangente à circunferência (x + 1)² + y² = 4 passando pelo ponto P(-1, 2)

Answer 1

temos a circunferência  (x + 1)² + y² = 4  e queremos a reta tangente à ela no ponto P(-1,2)

Reta tangente no ponto P(-1,2) :

$\text y-2=\text m(\text x-(-1)) \\\\ \text y -2=\text m (\text x+1) \\\\ \text y =\text m.\text x+\text m+2$

Podemos fazer de duas formas para encontrar o coeficiente angular da reta tangente

1ª forma :

Derivando implicitamente a equação da circunferência :

$\displaystyle \\\\ \text m = \text y' \\\\ (\text x+1)^2+\text y^2=4 \\\\ \text{Derivando}: \\\\ 2(\text x+1) + 2\text y.\text y'= 0 \\\\ \text y' = \frac{-2(\text x+1)}{2\text y } \\\\\\ \text y'=\frac{-\text x-1 }{\text y} \\\\ \underline{\text{Substituindo o ponto P(-1,2)}}: \\\\ \text m =\text y'=\frac{-(-1)-1}{2} \\\\ \text m =\text y'=\frac{0}{2} = 0 \\\\ \boxed{\text m =0}$

Equação da reta tangente :

$\text y = \text m\text x+\text m+2 \\\\\ \text y = 0.\text x+0+2 \\\\ {\text y = 2} \\\\ \underline{\text{Portanto a equa{\c c}{\~a}o da reta tangente no ponto P(-1,2) {\'e}}}: \\\\ \huge\boxed{\text y-2=0\ }\checkmark$

2ª forma de resolver:

$\text y-2=\text m(\text x-(-1)) \\\\ \text y -2=\text m (\text x+1) \\\\ \text y =\text m.\text x+\text m+2$

Vamos substituir esse valor de y na equação da circunferência e resolver para x. Lembrando que, se a reta é tangente então o Delta da equação tem que ser 0 ( apenas uma raiz)

$(\text x+1)^2+\text y^2=4 \\\\ (\text x+1)^2+(\text{mx+m+2})^2=4 \\\\ \text x^2+2\text x+1+\text m^2\text x^2+\text m^2+4+2\text m^2\text x+4\text {mx}+4\text m=4 \\\\ (1+\text m^2)\text x^2+(2+2\text m^2+4\text m)\text x + (\text m^2+4\text m+1)=0$

Daí você faz o Delta igual a 0, resolve e acha o respectivo valor de m