Question

4) Sendo   Z = - 1 + i , responda às questões, abaixo:
a) Localize Z no plano de Argand-Gauss;
b) Calcule o módulo de Z;
c) O argumento de Z;
d) Escreva a forma trigonométrica de Z. ​

Answer 1

a) Veja imagem anexa.

b) $\sqrt{2}$

c) $\dfrac{3\pi}{4}$

d) $\displaystyle z=\sqrt{2}\cdot\left(cos\,\frac{3\pi}{4}+i\cdot sen\,\frac{3\pi}{4}\right).$

Explicação

Segue uma explicação para cada item.

Item a

Temos o número complexo $z=-1+i,$ escrito na forma algébrica. Lembre-se de que podemos associar um número complexo da forma $z=a+bi$ ao ponto $P=(a,\,b)$ do plano, chamado afixo de $z.$

Veja que o afixo do número complexo desta questão é $P(-1,\,1).$ Sua localização está na imagem anexa.

Item b

Seja o número complexo $z=a+bi.$ O seu módulo, que pode ser indicado por $|z|$ ou $\rho,$ é dado por:

$\Large\displaystyle\text{ |z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2} .}$

Desse modo, como, nesta questão, temos $z=-1+i,$ ou seja, $a=-1$ e $b=1,$ segue que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\rho=\sqrt{(-1)^2+1^2}\\\\\rho=\sqrt{1+1}\\\\\boxed{\boxed{\rho=\sqrt{2}}}\end{gathered} }$

Item c

O argumento principal de um número complexo não nulo $z=a+bi$ é o ângulo $\theta$ tal que $0\leq\theta<2\pi$ e

$\Large\text{ \left\{\begin{array}{l}cos\,\theta=\dfrac{a}{\rho}\\\\sen\,\theta=\dfrac{b}{\rho}\end{array}\right. }$

O argumento principal costuma ser chamado simplesmente de argumento.

Para o complexo desta questão, temos:

$\Large\text{ \left\{\begin{array}{l}cos\,\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\sen\,\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right. }$

O ângulo $\theta$ que satisfaz as duas condições acima e é tal que $0\leq\theta<2\pi$ é $135^{\circ}$ ou $\dfrac{3\pi}{4}$ radianos.

Desse modo, o argumento procurado é:

$\Large\boxed{\boxed{\theta=\dfrac{3\pi}{4}}}$

Item d

Sejam o número complexo não nulo $z=a+bi$ e $\theta$ seu argumento. Note que:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}z&=a+bi\\\\&=\rho\cdot\left(\frac{a}{\rho}+i\cdot\frac{b}{\rho}\right)\\\\&=\rho\cdot\left(cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta\right)\end{aligned}$

A representação

$\Large\displaystylez=\rho\cdot\left(cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta\right)$

é chamada forma trigonométrica ou polar de $z.$

Desse modo, usando os resultados dos itens anteriores temos que a forma trigonométrica do complexo $z=-1+i$ é:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ z=\sqrt{2}\cdot\left(cos\,\dfrac{3\pi}{4}+i\cdot sen\,\dfrac{3\pi}{4}\right) .}}}$

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