Question

Alguém poder me ajudar na solução dessa questão?

Answer 1

$\displaystyle I=\iint_{\Omega}e^{-x^2-y^2}dx\,dy\\ \\ \\ \text{cambio de variable: }x=r\cos \theta\;\;,\;\;y=r\sin \theta\\ \\ O=\{(r,\theta): 0\ \textless \ r\leq R\;,\;0\ \textless \ \theta\leq 2\pi\}\\ \\ \\ I=\iint _{O}e^{-r^2}r\;dr\,d\theta\\ \\ \\ I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^Re^{-r^2}r\;dr\,d\theta$


$\displaystyle I=0.5\int_{0}^{2\pi}\left.\left(-e^{r^2}\right)\right|_{r=0}^{r=R}d\theta\\ \\ \\ I=0.5\int_{0}^{2\pi}1-e^{R^2}d\theta\\ \\ \\ \boxed{I=\pi\left(1-e^{R^2}\right)}$