Question

Resolva as inequações-Produto

a) (x+3).(x-2 > 0
b) (2-x).(x-3) < 0
c) (x-1).(x-5 ) > = 0
d ( 2-x).(x-6) < 0
e) (x-4).(x+2) > 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Madurah, que é simples.
Tem-se as seguintes inequações-produto:

a) (x+3)*(x-2) > 0.

Note que temos aí o produto entre duas funções do 1º grau, cujo resultado terá que ser MAIOR do que zero. Temos f(x) = x + 3; e temos g(x) = x-2.
Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das funções dadas. Depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas (ou seja, de cada uma das equações dadas). Finalmente, após isso, encontraremos qual é o domínio da inequação inicial. Então teremos:

f(x) = x+3 ----> raízes: x+3 = 0 ---> x = - 3
g(x) = x-2 ---> raízes: x-2 = 0 ---> x = 2.

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das funções dadas.

a) f(x) = x+3....- - - - - - - - - (-3)+++++++++++++++++++++++
b) g(x) = x-2 ...- - - - - - - - - - - - - - - - - - (2)++++++++++++++
c) a*b ...........++++++++++(-3)- - - - - - - (2) ++++++++++++++

Como queremos que f(x)*g(x) seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) vezes g(x).
Assim, os intervalos (que serão o domínio da inequação dada) serão:

x < -3, ou x > 2 ------- Esta é a resposta para a questão do item "a".

Se quiser, também poderá apresentar o domínio da inequação nas formas a seguir,  o que significará a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < -3, ou x > 2};
ou
S = (-∞; -3) U (2; +∞).

b) (2-x)*(x-3) < 0.

Utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, teremos:

f(x) = 2-x ---> raízes: 2 - x = 0 ---> -x = - 2 ---> x = 2
g(x) = x-3 ---> raízes: x-3 = 0 ---> x = 3.

Agora vamos analisar a variação de sinais:

a) f(x) = 2-x .... +++++++++++++(2)- - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x-3 ... - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  (3)+++++++++
c) a*b.............- - - - - - - - - - - - (2)++++++ (3)- - - - - - - -

Como queremos que o produto f(x)*g(x) seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) vezes g(x).
Assim, o intervalo que nos dará o domínio da inequação dada será:

x < 2, ou x > 3 ------- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução nas formas a seguir, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < 2, ou x > 3};
ou
S = (-∞; 2) U (3; +∞) .

c) (x-1)*(x-5) ≥ 0

Utilizando o mesmo raciocínio, teremos:

f(x) = x-1 ---> raízes: x-1 = 0 ---> x = 1
g(x) = x-5 ---> raízes: x-5 = 0 ---> x = 5

Agora vamos à análise de variação de sinais:

a) f(x) = x-1 .... - - - - - - - - (1)+++++++++++++++++++++++
b) g(x) = x-5 ...- - - - - - - - - - - - - - - - - (5)++++++++++++++
c) a*b............++++++++++(1)- - - - - -- (5)+++++++++++++++

Como queremos que o produto f(x)*g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS (ou igual a zero) no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) vezes g(x).
Assim, os intervalos que nos fornecerão o domínio da inequação dada será:

x ≤ 1, ou x ≥ 5  ----- Esta é a resposta para a questão do item "c".

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução nas formas a seguir, o que significará a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x ≤ 1, ou x ≥ 5};
ou
S = (-∞; 1] U [5; +∞) .

d) (2-x)*(x-6) < 0;
e
e) (x-4)*(x+2) > 0.

Observação: havíamos desenvolvido tanto a expressão "d" como a expressão "e". Contudo, quando chegamos ao final e "apertamos" no botão "responder", veio a seguinte mensagem: "O limite é de 5.000 caracteres. Tente resumir". Por causa disso, estamos retirando o desenvolvimento das questões "d" e "e", dando apenas a resposta para ambas. Se você seguir o mesmo raciocínio das questões já desenvolvidas, com certeza acertará as respostas destas duas questões.

A resposta para a questão do item "d" é esta:

x < 2; ou x > 6 ----- Esta é a resposta para a questão do item "d". Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução nas formas a seguir, o que significará a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < 2, ou x > 6};
ou
S = (-∞; 2) U (6; +∞) .

A resposta para a questão "e" é esta:

x < -2 ou x > 4 ------- Esta é a resposta para a questão do item "e". Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução como a seguir, o que significará a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < -2, ou x > 4};
ou
S = (-∞; -2) U (4; +∞) .

Deu pra entender bem o desenvolvimento de cada uma das questões?

OK?
Adjemir.