Respostas
Explicação passo a passo:
Primeiramente, enunciaremos o Princípio da Boa Ordem, que será utilizado para a demonstração pedida.
Princípio da Boa Ordem (PBO): Todo subconjunto não-vazio de ℕ possui elemento mínimo, isto é,
para todo A ⊆ ℕ, A ≠ Ø, existe um n₀ ∈ A tal que, para todo n ∈ A, n₀ ≤ n.
Teorema: Não existe número inteiro entre 0 e 1.
Demonstração: Seja A = {n ∈ ℕ: 0 < n < 1}. Suponha por absurdo que A é não-vazio. Então pelo PBO, existe um n₀ ∈ A, tal que n₀ é elemento mínimo de A. Como n₀ ∈ A, devemos ter
⟹ 0 < n₀ < 1 (i)
Multiplicando todos os membros da desigualdade acima por n₀, temos
⟹ 0 < n₀² < n₀ (ii)
Por (i) e (ii), concluimos que
⟹ 0 < n₀² < n₀ < 1
⟹ n₀² ∈ A e n₀² < n₀ (iii)
Aqui temos uma contradição em (iii), pois concluímos que n₀² ∈ A, no entanto, como n₀ é elemento mínimo de A, não podemos ter n₀² < n₀.
Portanto, A é vazio, ou seja, não existe inteiro entre 0 e 1.
Bons estudos! :-)