Question

Seja M = [auj]nxn uma matriz quadrada de ordem n, onde ai; = i +j. Nessas condições, a soma dos elementos cujo i =
j dessa matriz é? (Dica: você vai precisar usar conhecimentos de uma PA)

Answer 1

Resposta:

A soma dos elementos vale n + n²

Explicação passo a passo:

Achando os elementos da soma:

O exercício nos diz que ele quer a soma dos elementos da matriz cujo i = j, ou seja, nós queremos somar os elementos $a_{1,1}$, $a_{2,2}$, assim por diante até $a_{n,n}$pois nossa matriz é uma matriz nxn.

Construindo a soma:

Agora que a gente sabe quais os elementos que a gente quer somar vamos aplicar o que o exercício nos disse.

O exercício fala que $a_{i,j} = i + j$, e como queremos somar os termos $a_{1,1}, a_{2,2}, \dots, a_{n,n}$ é só substituir na fórmula:

$a_{1,1} = 1+ 1$ = 2, $a_{2,2} = 2+2 = 4$, $a_{3,3} = 3 + 3 = 6$, ..., $a_{n,n} = n+n = 2n$

Agora tem uma sutileza no exercício, se notarmos bem os termos formam uma PA com $a_1$ = 2 e razão r = 2.

Como queremos a soma desses termos e descobrimos que ele são uma PA, basta a gente substituir na fórmula da soma da PA: $s_n = \frac{n*(a_1 + a_n)}{2}$

O $a_1$ sabemos que é 2 e o $a_n$ é o elemento $a_{n,n}$ da matriz que descobrimos que vale 2n. então substituindo na fórmula temos:

$S_n = \frac{n*(2+2n)}{2} = \frac{2n*(1+n)}{2} = n*(1+n)$ = n + n²