Question

Calcule a seguinte integral indefinida ∫1/(2x+1) dx

Answer 1

$\int \, \frac{1}{2x+1} \, dx\\\\= \frac{1}{2} + \ln(|2x+1|) + C$

Em que C pertence ao conjunto dos Reais.

Answer 2

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a integral indefinida - antiderivada ou primitiva - procurada é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int \frac{1}{2x + 1}\,dx= \frac{1}{2}\cdot \ln|2x + 1| + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a integral "I":

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{1}{2x + 1}\,dx\end{gathered}$

Nesta situação, a função que devemos calcular sua integral indefinida é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = \frac{1}{2x + 1}\end{gathered}$  

Para resolver esta integral indefinida, devemos utilizar o método de substituição. Para isso, devemos:

• Nomear a função que se encontra no denominador.

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u = 2x + 1\end{gathered}$

• Derivar "u" em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{dx} = 2\cdot1\cdot x^{1 - 1} + 0 = 2\cdot x^{0} = 2\cdot 1 = 2\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{dx} = 2\Longrightarrow du = 2\,dx\end{gathered}$

• Isolar "dx" na derivada calculada anteriormente.

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{2} = dx\end{gathered}$

• Substituir, desenvolver e simplificar os cálculos.

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{2}\cdot\ln|u| + c\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{2}\cdot \ln|2x + 1| + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a integral indefinida procurada é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{1}{2x + 1}\,dx= \frac{1}{2}\cdot \ln|2x + 1| + c\end{gathered}$

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Solução gráfica (Figura):