Question

Calcule a área delimitada pelas funções y=x^5 e y=x^3.

Answer 1

Resposta:  $A_{total}=+\infty$

Resolução:

A área delimitada a cima pelo gráfico de uma função f e a baixo pelo gráfico de uma função g, no intervalo  $[x_1\;;\;x_2]$ , pode ser calculada pela seguinte fórmula:

$\boxed{\boxed{\;A=\displaystyle\int\limits^{x_2}_{x_1} {f(x)-g(x)}\;\;dx\;}}$

Sejam  $f(x)=x^3$  e  $g(x)=x^5$, para sabermos qual a função que limita a área por baixo e qual a que limita a área por cima, temos de visualizar o problema, representando os gráficos de ambas as funções. Podes encontrar esta representação nos anexos.

Analizando os gráficos, vemos que há 4 regiões diferentes:

1. Em  $]-\infty\;;\;-1[$ , onde em cima temos f e em baixo temos g;
2. Em  $]-1\;;\;0]$ , onde em cima temos g e em baixo temos f;
3. Em  $]0\;;\;1[$ , onde em cima temos f e em baixo temos g;
4. Em  $]1\;;\;+\infty[$ , onde em cima temos g e em baixo temos f;

Podemos, então, concluir o seguinte:

$A_{total}=A_1+A_2+A_3+A_4$

Onde:

$A_1=\displaystyle\int\limits^{-1}_{-\infty} {f(x)-g(x)}\;dx\\\\\\A_2=\displaystyle\int\limits^{0}_{-1} {g(x)-f(x)}\;dx\\\\\\A_3=\displaystyle\int\limits^{1}_{0} {f(x)-g(x)}\;dx\\\\\\A_4=\displaystyle\int\limits^{+\infty}_{1} {g(x)-f(x)}\;dx$

Pelo gráfico, consigo ver que  $A_1$  e  $A_2$  são áreas infinitas, ou seja:

$A_1=-\infty$

Este valor é negativo porque a área se encontra abaixo do eixo do x. No entanto, como queremos a área real e esta toma apenas valores positivos, podemos alegar que  $A_1=+\infty$ .

$A_2=+\infty$

Calculemos, agora, os valores das restantes áreas:

    $A_2=\displaystyle\int\limits^{0}_{-1} {g(x)-f(x)}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_2=\displaystyle\int\limits^{0}_{-1} {x^5-x^3}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_2=\left|\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{x^4}{4}\right|^{0}_{-1}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_2=\left[\dfrac{(-1)^6}{6}-\dfrac{(-1)^4}{4}\right]+\left(\dfrac{0^6}{6}-\dfrac{0^4}{4}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_2=\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{0}{6}-\dfrac{0}{4}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_2=\left(\dfrac{2}{12}-\dfrac{3}{12}\right)+\left(0-0\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_2=\dfrac{2-3}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_2=-\dfrac{1}{12}$

Este valor é negativo porque a área se encontra abaixo do eixo do x. No entanto, como queremos a área real e esta toma apenas valores positivos, podemos alegar que  $A_2=\dfrac{1}{12}$ .

    $A_3=\displaystyle\int\limits^{1}_{0} {f(x)-g(x)}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_3=\displaystyle\int\limits^{1}_{0} {x^3-x^5}\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_3=\left|\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^6}{6}\right|^{1}_{0}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_3=\left(\dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^6}{6}\right)+\left(\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{1^6}{6}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_3=\left(\dfrac{0}{4}-\dfrac{0}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_3=\left(0-0\right)+\left(\dfrac{3}{12}-\dfrac{2}{12}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_3=\dfrac{3-2}{12}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_3=\dfrac{1}{12}$

Para finalizar, somamos os valores das áreas:

    $A_{total}=A_1+A_2+A_3+A_4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{total}=+\infty+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+(+\infty)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{total}=+\infty$

Nota: Por análise do gráfico, era óbvio que a área seria infinita. Ainda assim, fiz os cálculos para que possas entender como pensar em casos em que não consigas ver imediatamente se a área é ou não infinita.

Podes ver mais exercícios sobre o cálculo de áreas delimitadas por gráficos de funções em:

• https://brainly.com.br/tarefa/39766734
• https://brainly.com.br/tarefa/39953048