Question

Considere a equação 60x+12x+12x/5+...=7x²+50 em que os termos do primeiro membro formam uma PG infinita. A soma dos valores de x que verifica esta equação é:  A) 75/7 B)7/5 C)55/7 D)77/5 ​

Answer 1

Primeiro lidamos com a soma dos termos da P.G. infinita presente do lado esquerdo.

Vamos descobrir a razão desta P.G. Para isso basta pegar um termo qualquer e dividir pelo seu antecessor:

$q=\frac{12x}{60x}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$

Agora que sabemos a razão e o primeiro termo desta P.G., podemos saber a soma dos seus infinitos termos através da seguinte relação:

$S=\frac{a_1}{1-q}$

$S=60x\div( 1-\frac{1}{5})$

$S=60x\div( \frac{5}{5} -\frac{1}{5})$

$S=60x\div \frac{4}{5}$

$S=60x\cdot \frac{5}{4}$

$S=\frac{300x}{4}$

$S=75x$

Substituindo a soma descoberta acima na equação:

$60x+12x+\frac{12x}{5}+...=7x^2+50$

$75x=7x^2+50$

$0=7x^2-75x+50$

$7x^2-75x+50=0$

Aplicamos Bhaskara para descobrir as soluções da equação do 2º grau acima:

$\triangle=b^2-4\cdot a\cdot c=(-75)^2-4\cdot 7\cdot 50=5625-1400=4225$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\triangle} }{2a}= \frac{75+\sqrt{4225} }{2\cdot 7}=\frac{75+65}{14}=\frac{140}{14}=10$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\triangle} }{2a}= \frac{75-\sqrt{4225} }{2\cdot 7}=\frac{75-65}{14}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$

E finalmente podemos calcular a soma dos valores de "x" que verificam esta equação:

$x_1+x_2=10+\frac{5}{7}=\frac{70}{7}+\frac{5}{7}=\frac{75}{7}$

Gabarito: A)