Question

integral (1/x ln (1/x) DX)

Answer 1

$I=\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}\,\mathrm{\ell n}\left(\dfrac{1}{x} \right )\,dx}$

O logaritmo do quociente é a diferença entre os logaritmos. Aplicando esta propriedade ao integrando, temos

$I=\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}\,[\mathrm{\ell n}(1)-\mathrm{\ell n}(x)]\,dx}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{1}{x}\,[0-\mathrm{\ell n}(x)]\,dx}\\ \\ \\ =-\int{\dfrac{1}{x}\,\mathrm{\ell n}(x)\,dx}\\ \\ \\ =-\int{\mathrm{\ell n}(x)\cdot \dfrac{1}{x}\,dx}$

Substituição:

$\mathrm{\ell n}(x)=t\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{1}{x}\,dx=dt$

Substituindo, a integral fica

$I=-\displaystyle\int{t\,dt}\\ \\ \\ =-\dfrac{t^{2}}{2}+C\\ \\ \\ =-\dfrac{[\mathrm{\ell n}(x)]^{2}}{2}+C\\ \\ \\ =-\dfrac{\mathrm{\ell n^{2}}(x)}{2}+C$