Question

SEM USAR L'HOPITAL BERNOULLI**

$\lim_ {x \rightarrow \infty} (\dfrac {n!} {n^{n}}) ^ \frac {1}{n}$ ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

OLÁ @PEDROABDALAH0

Análise Matemática

Temos o seguinte limite :

$~~~~~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{n!}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}} }$

Para a resolução , deste limite pode-se proceder de várias maneiras, dentre elas pode-se destacar a integral de Riemann e a fórmula do James Stirling .

Mas a aquí vamos apenas a apresentação via fórmula do James Stirling .

A fórmula do James Stirling diz que quando $\sf{n\longrightarrow \infty }$ , então podemos ter que :

$~~~~~~\boxed{\sf{ n!~\sim~\sqrt{2\pi *n}*\left(\dfrac{n}{e}\right)^n } }$ , deste modo , conclui-se que :

$~~~~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{n!}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}}}~\sim~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{\sqrt{2\pi *n}*\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}} }$

$~~~~~=~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi * n}*\left(\frac{n}{e}\right)^n}}{\sqrt[n]{n^n}}}~=~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{\sqrt[2n]{2\pi *n}*\frac{n}{e}}{n}}$

Perceba que:

se $\sf{n \longrightarrow \infty}$, então $\sf{ \sqrt[2n]{2\pi * n}~\longrightarrow 1 }$

Daí que :

$~~~~~=\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{ \frac{n}{e} }{n} } ~=~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{1}{e}~=~\dfrac{1}{e} }$

$~~~~\boxed{\green{ \displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{n!}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}}~=~\dfrac{1}{e} } } }$ ✓✓✓

This answer was elaborad by:

Murrima , Joaquim Marcelo

UEM(Moçambique)-DMI