Question

Determine a posição relativa da reta r: x + y - 3 = 0 e a circunferência de equação (x + 2)² + (y -1)² =10, caso existam pontos em comum, encontre-os

Answer 1

Vamos comparar a distância entre o centro da circunferência e a reta r

$d=|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}|\\\\d=|\frac{-2+1-3}{\sqrt{1+1}}|\\\\d=|\frac{-4}{\sqrt{2}}|\\\\d=|\frac{-4\sqrt{2}}{2}|\\\\d=2\sqrt{2}$

O raio da circunferência por sua vez é $\sqrt{10}>2\sqrt{2}$, portanto a distância entre a reta r e o centro da circunferência é menor que o raio, e consequentemente a reta é secante à circunferência. Vamos encontrar as coordenadas das intersecções através de um sistema:

$\left \{ {x+y-3=0} \atop {(x+2)^2+(y-1)^2=10}} \right.$

$(x+2)^2+(3-x-1)^2=10\\\\x^2+4x+4+4-4x+x^2=10\\\\2x^2=2\\\\x^2=1\\\\x=\pm1$

$1+y'-3=0\\\\y'=2\\\\\\-1+y'-3'=0\\\\y''=4$

Os pontos de intersecção são: $(1,\:2),\:\:(-1,\:4)$