Question

Alguém me ajuda, dou M.R.
Sabendo que log2 = 0,3, o valor de
$log100\sqrt[3]{400}$
é:
a) 13/30
b)4/30
c)11/45
d)3/4
e)1/2

Answer 1

O valor procurado é $\bf\dfrac{13}{30},$ que é a resposta contida na alternativa a.

Explicação

Dado $\log2=0{,}3,$ deseja-se saber o valor de:

$\Large\text{ \log_{100}\sqrt[3]{400} .}$

Para a resolução desta questão, de início, vamos recordar a definição de logaritmo e apresentar algumas propriedades deste.

Definição de logaritmo

Sejam $a$ e $b$ dois números reais positivos e $b\neq 1.$ Chama-se logaritmo de $a$ na base $b,$ o expoente ao qual se deve elevar a número $b$ para se obter o valor $a.$ Isto é:

$\Large\text{ \log_ba=x\iff b^x=a .}$

Propriedades

Sejam $a, b, c$ e $q$ números reais positivos e $b$ e $q$ diferentes de 1. Além disso, considere $\gamma\in\mathbb{R}.$ Valem as seguintes propriedades:

i) Mudança de base

$\Large\log_ba=\dfrac{\log_qa}{\log_qb}$

ii) Logaritmo da potência

$\Large\log_b a^{\gamma}=\gamma\cdot\log_ba$

iii) Logaritmo do produto

$\Large\log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc$

Agora, vamos à resolução da questão. Primeiro, será feita a mudança para a base 10. Depois, são usadas as outras propriedades. Veja:

$\Large\text{ \displaystyle\begin{gathered}\log_{100}\sqrt[3]{400}=\\\\=\frac{\log\sqrt[3]{400}}{\log100}=\\\\=\frac{\log400^{\frac{1}{3}}}{2}=\\\\=\frac{\dfrac{1}{3}\cdot \log400}{2}=\\\\=\frac{\diagup\!\!\!\!3\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!3}\cdot \log400}{3\cdot 2}=\\\\=\frac{\log400}{6}\end{gathered} }$

Note que podemos escrever 400 como $4\cdot 100.$ Desse modo, segue que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{\log400}{6}=\\\\=\frac{\log(4\cdot 100)}{6}=\\\\=\frac{\log4+\log100}{6}=\\\\=\frac{\log2^2+2}{6}=\\\\=\frac{2\cdot\log2+2}{6}\end{gathered}$

Lembrando que estamos considerando a aproximação $\log2=0{,}3,$ decorre que:

$\Large\text{ \displaystyle\begin{gathered}\frac{2\cdot\log2+2}{6}=\\\\=\frac{2\cdot0{,}3+2}{6}=\\\\=\frac{0{,}6+2}{6}=\\\\=\frac{2{,}6}{6}=\\\\=\frac{26}{10}\cdot \frac{1}{6}=\\\\=\frac{13}{10}\cdot\frac{1}{3}=\\\\=\frac{13}{30}\end{gathered} }$

Portanto, considerando $\log2=0{,}3,$ tem-se:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ \log_{100}\sqrt[3]{400}=\dfrac{13}{30} .}}}$

Resposta: alternativa a.

Dúvidas? Comente.

Espero que tenha ajudado! :)