Question

- (UFPR) Considere a seqüência finita de números (1, 2, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, ... ,1001),
na qual comparecem todos os números naturais menores ou iguais a 1001, exceto os múltiplos de 3 e de 4. Qual é a soma dos termos dessa seqüência?

Answer 1

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⠀⠀☞ Através de somas de progressões aritméticas e de relações de intersecção e diferença entre conjuntos concluímos que a soma dos termos desta sequência vale 251.000. ✅

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➡️⠀Resolveremos esta questão em 5 passos, lembrando que sequências de múltiplos são também progressões aritméticas:

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• I) Descobrir qual é a soma de todos os números no intervalo [1, 1.001];

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• II) Descobrir qual é a soma de todos os múltiplos de 3 no intervalo [1, 1.001];

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• III) Descobrir qual é a soma de todos os múltiplos de 4 no intervalo [1, 1.001];

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• IV) Descobrir qual é a soma de todos os múltiplos de 3 e 4 no intervalo [1, 1.001], ou seja, os múltiplos de 12;

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• V) Realizar a operação I - II - III + IV. Ao subtrairmos os conjuntos II e III do conjunto I estaremos subtraindo duas vezes os múltiplos de 12 (pois eles estão tanto em II como em III) o que nos leva a somá-los uma vez de volta.

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⚡ " -Qual é a equação para a soma de uma progressão aritmética?"

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm S_n = \dfrac {(a_1 + a_n)}{2} \cdot n}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a_n }}$ sendo o n-ésimo termo da P.A.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a_1 }}$ sendo o primeiro termo da P.A.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf n }}$ sendo a posição do termo na P.A.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf S_n }}$ sendo a soma dos n primeiros termos da P.A.

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$\blue{\Large\sf~I)~\begin{cases}\sf~S_{1.001} = \dfrac{1 + 1.001}{2} \cdot 1.001\\\\ \sf~S_{1.001} =~\boxed{501.501} \end{cases}}$

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• ✋ Dica: para encontrar qual é o número de divisores de x em um intervalo de 1 até y basta dividirmos y por x e tomarmos seu valor inteiro. Para encontrarmos qual é o último divisor inteiro dentro deste intervalo basta multiplicarmos o número de divisores por x.

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$\blue{\Large\sf~II)~\begin{cases}\sf~S_{333}= \dfrac{3 + 999}{2} \cdot 333\\\\ \sf~S_{333} =~\boxed{166.833} \end{cases}}$

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$\blue{\Large\sf~III)~\begin{cases}\sf~S_{250}= \dfrac{4 + 1.000}{2} \cdot 250\\\\ \sf~S_{250}=~\boxed{125.500} \end{cases}}$

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$\blue{\Large\sf~IV)~\begin{cases}\sf~S_{83}= \dfrac{12 + 996}{2} \cdot 83\\\\ \sf~S_{83}=~\boxed{41.832} \end{cases}}$

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$\LARGE\blue{\sf S = I - II - III + IV}$

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$\large\blue{\sf S = 501.501 - 166.833 - 125.500 + 41.832}$  

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{S}~\pink{=}~\blue{ 251.000 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:

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✈ Modelagem e Progressões Aritméticas (https://brainly.com.br/tarefa/38405971)

✈ Relações entre conjuntos (https://brainly.com.br/tarefa/38389802)

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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