Question

1) Simplifique a expressão:

a)Y = cos 3n/2 + cos ( - n ) + 5 sen ( - 3n/2 )

b)Y=sen 4n/3 + cos 5n/6 + tg n/6

2) Converta 150° em rad.

3) Se um arco mede 60°, então sua medida em rad é quanto?

4) Qual a medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min?

Answer 1

1) Simplifique a expressão:

a)Y = cos 3n/2 + cos ( - n ) + 5 sen ( - 3n/2 )

Y=0 -1+5*1=4

b)Y=sen 4n/3 + cos 5n/6 + tg n/6

sen 4n/3=sen(240)=sen(180+60)=-sen(60)=-√3/2

cos 5n/6 =cos(150)=cos(90+60)=-sen(60)=-√3/2

tag(pi/6)=tag30 =√3/3

Y= -√3/2 -√3/2 +√3/3

Y=-√3+√3/3=-2√3/3

2)

150--------x

180--------pi

x= 150pi/180

x=5pi/6 rad

3)

60-----------x

180----------pi

60*pi=180*x

x= 60*pi/180

x=pi/3 rad

4)

h ==> 0 até 12 hs

m ==> minutos

Se A > 180 ...maior ângulo entre os ponteiros

Se A < 180 ...menor ângulo entre os ponteiros

A =|60*9-11*30|/2 =105°

Answer 2

1.) Simplificando as equações com os valores em graus, obtemos:

a) y = 4

$b)y=\frac{-2\sqrt{3} }{3}$

$2.)150 = \frac{5}{6} \pi rad$

$3.) 60 = \frac{1}{3} \pi rad$

4.) o menor ângulo é de 105°

Para essas respostas vamos lembrar o valor de π e substituir, verificar quantos graus tem 1 radiano e considerar os graus em um relógio:

1.) → π é a medida de metade de uma circunferência, portanto π = 180°

   → Tangente de um ângulo é igual à divisão do seno pelo cosseno desse mesmo ângulo:

2.) → π rad = 180º

1.)

Vamos substituir π pelo seu valor em graus = 180°

a)

$y = cos \frac{3\pi }{2} + cos(-\pi ) + 5 sen(\frac{-3\pi }{2} )$

$y = cos \frac{3.180 }{2} + cos(-180 ) + 5 sen(\frac{-3.180 }{2} )$

$y = cos \frac{540 }{2} + cos(-180 ) + 5 sen(\frac{-540 }{2} )$

y = cos 270 + cos (-180) + 5.sen(-270)

Se quisermos calcular os valores de cada seno e cosseno, teremos:

y = 0 + ( -1 ) + ( 5 . 1)

y = -1 + 5

y = 4

b)

$y = sen \frac{4\pi }{3} + cos\frac{5\pi }{6} + tg \frac{\pi }{3}$

$y = sen \frac{4.180}{3} + cos\frac{5.180 }{6} + tg \frac{180 }{3}$

$y = sen \frac{720}{3} + cos\frac{900 }{6} + tg \frac{180 }{3}$

y = sen 240 + cos 150 + tg 30

$y = sen 240 + cos 150 + tg 30$

$y=\frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{-\sqrt{3} }{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

$y=\frac{-3\sqrt{3} -3\sqrt{3} +2\sqrt{3} }{6}$

$y=\frac{-4\sqrt{3} }{6} = \frac{-2\sqrt{3} }{3}$

2.) Podemos fazer uma regra de três:

π rad = 180°

  x     = 150°

x . 180 = π . 150

x = $\frac{150\pi }{180}$

$x = \frac{5}{6} \pi rad$

3.)

π rad = 180°

  x     = 60°

x . 180 = π . 60

$x = \frac{60\pi }{180}$

$x = \frac{1}{3} \pi rad$

4.) Quando o relógio marca 9h e 30m, teremos dois ânguls:

Do ponteiro que está no 9 até o ponteiro que está no 6 (referente à 30 m), teremos:

⇒ No sentido anti-horário, um ângulo de 90° + o deslocamento entre 9 e 10

⇒ No sentido horário, um ângulo de 270° - deslocamento entre 9 e 10

A cada 30º que o ponteiro maior percorre, o ponteiro menor percorre 2,5º. Se ele percorreu 6 números, o ponteiro menor também irá percorrer 6 entre 9 e 10. Basta fazer o produto entre eles: 6.2,5 = 15º

Então, os ângulos serão:

270° - 15° = 255°

90° + 15° + 105°

Portanto o menor ângulo é de 105°

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