Question

A equação apresentada abaixo tem como raízes -1 e 2. Utilize as relações de Girard para encontrar o valor de m.

mx² - 5 x - 10 = 0

Answer 1

⠀⠀A equação do 2º grau apresentada tem coeficiente $a=m=5$, logo ela se situa na forma $5x^2-5x-10=0$, ou ainda, simplificando por 5, se situa na forma $x^2-x-2=0$.

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Considerações

⠀⠀As relações de Girard numa equação quadrática estabelecem relacionamentos entre seus coeficientes e suas raízes. Veja que, considerando uma equação $ax^2+bx+c=0$ onde $a$, $b$ e $c$ $\in\,\mathbb{R}$ | $a\neq0$, a soma e o produto das raízes $x_1$ e $x_2$ são dados, respectivamente, por:

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                                       $\Large\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{c}\\S=x_1+x_2=-\,\dfrac{b}{a}\\\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}\\\\\end{array}}}$

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Resolução

⠀⠀Sabe-se que a equação $mx^2-5x-10=0$ possui raízes $x_1=-\,1$ e $x_2=2$ e desejamos encontrar o valor de $m$ utilizando as supramencionadas relações de Girard. Estaremos utilizando as duas formulas para demonstrar que o resultado é o mesmo para os dois casos, só que fazer em apenas uma das duas já seria necessário. Como a equação proposta tem coeficientes $a=m$, $b=-\,5$ e $c=-\,10$, temos:

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                            $\Large\begin{array}{c|}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\\\-\,1+2=\dfrac{-(-\,5)}{m}\\\\1=\dfrac{5}{m}\\\\1\cdot m=5\\\\\!\boxed{m=5}\end{array}\Large\begin{array}{c}x_1x_2=\dfrac{c}{a}\\\\-\,1\cdot2=\dfrac{-\,10~~}{m}\\\\2\cdot m=10\\\\m=\dfrac{10}{2}\\\\\!\boxed{m=5}\end{array}$

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⠀⠀Conclui-se, portanto, que a equação apresentada é: $5x^2-5x-10=0$, ou ainda, simplificando por 5: $x^2-x-2=0$.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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