Question

Em uma PA o quarto termo é 28 e o sétimo termo é 13. Determine a soma
dos dez primeiros termos da PA.

Answer 1

Explicação passo a passo:

A forma geral do termo de uma Progressão Aritmética é:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$

Onde:

$a_{1}$ é o primeiro termo;

$n$ é o termo;

$r$ é a razão;

Temos uma PA onde $a_{4}=28$ e $a_{7}=13$. Substituindo essas informações na fórmula do termo, teremos:

$28=a_1+3\cdot r\quad\quad(I)\\13=a_1+6\cdot r\quad\quad(II)$

Multiplicando $(I)$ por $(-2)$ e somando com $(II)$ membro a membro, teremos:

$-56=-2a_1-6\cdot r\quad\quad(I')\\13=a_1+6\cdot r\quad\quad(II)$

$(I')+(II):-56+13=-2a_1+a-1-6r+6r\\(I')+(II):-43=-a_1\\(I')+(II):a_1=43$

Substituindo $a_1=43$ em $(II)$:

$13=43+6\cdot r\\6r=-30\\r=-5$

Portanto, a forma geral do termo dessa PA é:

$a_n=43+(n-1)\cdot(-5)\\a_n=43-5n+5\\a_n=48-5n$

A fórmula da soma dos termos de uma PA é:

$S_{n}=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Para aplicá-la, precisamos calcular o décimo termo. Logo:

$a_{10}=48-5\cdot10\\a_{10}=48-50\\a_{10}=-2$

Substituindo:

$S_{10}=\frac{(43+(-2))\cdot 10}{2}\\S_{10}=\frac{41\cdot 10}{2}\\S_{10}=\frac{410}{2}\\S_{10}=205$