Question

Observe a matriz a seguir: A = [ 1/1 2/3]. Podemos afirmar que a inversa da matriz A é:​

Answer 1

Resposta: Alternativa B,  $\left[\begin{array}{ccc}3&-2\\-1&1\end{array}\right]$

Explicação passo a passo:

A matriz inversa é, por definição, aquela que, se multiplicada pela original, resultará em uma matriz identidade (ou seja, uma matriz onde todos os termos fora da diagonal principal são zeros, e os termos nela são 1). Sabendo disso, e considerando a matriz inversa de A como sendo [a,b,c,d], é possível chegar nas seguintes relações:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&3\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\\\a + 2.c = 1\\b + 2d = 0\\a + 3c = 0 \\b + 3d = 1$

Com essas relações, podemos isolar e substituir os termos, chegando assim em seus respectivos valores numéricos:

$2.c = 1- a\\c = \frac{1-a}{2} \\a + 3.\frac{1-a}{2} = 0\\\\-2.a = 3(1-a)\\-2.a = 3 - 3a\\a = 3$

$2.c = 1-a\\2.c = 1-3\\2.c = -2\\c=-1$

$b+2d = 0\\b = -2d\\b+3d = 1\\-2d +3d = 1\\d = 1$

$b = -2d\\b = -2.1\\b = -2$

Sabendo todos os valores, chegamos, por fim, na matriz inversa de A, que é:

$\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3&-2\\-1&1\end{array}\right]$

Alternativa B