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Resposta:
A ideia de progressão está relacionada com avanço e sucessão. Na Matemática, caracterizamos a progressão como uma série numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra. Ela sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é uma fórmula matemática.
No Ensino Médio, estudamos dois tipos de progressão, a aritmética e a geométrica.
♦ Progressão Aritmética
Na progressão aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é determinado pela soma do anterior por uma constante chamada de razão. Para determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula:
an = a1 + (n – 1) . r
an = n-ésimo termo da sequência
a1 = primeiro termo
n = posição do termo na sequência
r= razão
Ainda em relação a PA, temos a fórmula que fornece a soma dos n primeiro termos, que é a seguinte:
Sn= n . (a1 + an)
2
Sn = soma dos n primeiros termos de uma PA
n = posição do termo na sequência
a1 = primeiro termo da sequência
an = n-ésimo termo da sequência
Exemplo: Encontre o vigésimo termo da sequência (1, 3, 5, 7 . . .) e calcule a soma dos 20 primeiros termos.
Dados:
a1 = 1
r = 2 → Para descobrir r, observe a progressão. O próximo número é sempre o anterior mais 2: 1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5 …
n = 20
a20 = ?
Resolução:
an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 1 + (20 – 1) . 2
a20 = 1 + (19) . 2
a20 = 1 + 38
a20 = 39
O vigésimo termo da sequência é o número 39.
Sn= n . ( a1 + an )
2
S20 = 20 . ( 1 + 39 )
2
S20 = 20 . ( 40)
2
S20 = 20 . 20
S20 = 400
A soma dos vinte primeiros termos da sequência é 400.
♦ Progressão Geométrica
Já a progressão geométrica (PG) pode ser entendida como qualquer sequência de números em que, a partir do segundo termo, a sequência é dada por meio da multiplicação do termo anterior pela razão. Veja a fórmula:
an = a1 . qn – 1
an = n-ésimo termo da sequência
a1 = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo da sequência
Nessa progressão, também temos a fórmula da soma dos n primeiros termos, que é dada por:
Sn = a1 . (qn – 1)
q - 1
Sn = soma dos n primeiros termos de um PG
a1 = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo na sequência
Exemplo: Determine o sexto termo da progressão geométrica (2, 6, 18, 54...) e, em seguida, calcule a soma dos seis primeiros termos.
Para resolver esse exercício, devemos calcular a razão (q). Para isso, efetue as divisões:
6 = 3
2
18 = 3
6
54 = 3
18
Com isso, verificamos que a razão da PG é 3. Sabendo que a1 = 2 e n = 6, substitua os valores na fórmula:
a6 = a1 . qn – 1
a6 = 2 . ( 3)6 -1
a6 = 2 . (3)5
a6 = 2 . 243
a6 = 486
O sexto termo da PG é o número 486. Vamos agora calcular a soma dos seis primeiros termos da sequência.
Sn = a1 . (qn - 1)
q – 1
Sn = 2 . (36 - 1)
3 – 1
Sn = 2 . (729 - 1)
3 – 1
Sn = 2 . (728)
2
Sn = 1456
2
Sn = 728
A soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é igual a 728.