Question

FUNÇÃO EXPONENCIAL!!
Determine o menor valor da expressão:$( \frac{1}{2}) ^{4x- x^{2} }$ 

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar o menor valor da expressão abaixo:

f(x) = (1/2)⁴ˣ-ˣ²

Agora note que: o expoente é este: 4x - x², que, ordenadamente, será:

- x² + 4x <--- Veja que se trata de uma função do 2º grau, cujo termo "a" é negativo (o termo "a" é o coeficiente de x²). E quando se trata de uma função do 2º grau com o termo "a" negativo, significa que ela tem um valor máximo, que é dado pelas coordenadas do vértice (xv; yv).
Assim, calculando-se o valor da abscissa do vértice (xv), temos:

xv = -b/2a ----- substituindo-se "b" por "4" e "a" por "-1", teremos:
xv = - 4/2*(-1)
xv = - 4/-2 --- ou apenas (na divisão, menos com menos dá mais):
xv = 4/2
xv = 2 .

Agora vamos na expressão original e vamos substituir "x" por "2", e encontraremos o valor mínimo da função f(x). Note que a base (1/2) sendo menor do que "1", atingirá o seu menor valor quando o expoente assumir o seu maior valor.
Vamos, portanto, substituir "x" pelo seu valor máximo (que é x = 2). Assim:

f(2) = (1/2)⁴*² - ²^(²)
f(2) = (1/2)⁸⁻⁴
f(2) = (1/2)⁴ ---- agora veja que (1/2)⁴ = 1/16. Assim:
f(2) = 1/16 <--- Esta é a resposta. Este é o valor mínimo que a função exponencial acima assumirá.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.