o valor de um imóvel cresce exponencialmente, de modo que, daqui a t anos, ele será dado V(t) = A.e(elevado, a kt). Hoje, o imóvel vale 120.000,00 e, daqui a dois anos 160.000,00 Qual será o valor do imóvel daqui a 6 anos, a contar de hoje? e daqui a 10 anos, a contar de hoje?
Respostas
Resposta:
v(6) = 284.444,44
v(10) = 505.679,00
Explicação passo a passo:
V(t) = A^kt
Vamos usar os valores dados:
Hoje t = 0, V(o) será igual a 120.000,00
V(0) = A^kt
120.000 = A.e^kt (Primeira equação)
Em dois anos t = 2, teremos V(2) igual a:
160.000 = Ae^k2 (Segunda equação)
A pergunta deseja saber os valores de V(6) e V(10). Para isso precisamos primeiro encontrar as incógnitas A, "e" e k, usando as equações anteriores:
120.000 = A . e^k.0
Nessa primeira equação podemos encontrar o valor e A, pois como k . 0 = 0, teremos e^0, todo número elevado a zero sempre será igual a 1.
Assim, temos e^0 = 1. Logo, temos que:
120.000 = A . 1
A = 120.000 (assim, A = ao valor inicial do imóvel)
Usando a segunda equação, substituindo A = 120.000 para encontrar "e" e "k"
160.000 = A . e^k2
160.000 = 120.000 . e^2k
160000/120000 = e^2k
4/3 = e^2k
Veja que e^2k = 4/3
Agora usaremos isso para encontrar o valor de v(6):
V(6) = A . e^6k
A = 120.000
e^2k = 4/3
Vamos relembrar a propriedade de multiplicações de potências com a mesma base para resolver essa questão. Lembre que:
2⁴ . 2³ = 2⁷ (repete-se a base 2 e soma-se os expoentes) usando está propriedade, podemos considerar que o e^6k equivale a:
e^6k = e^2k . e^2k . e^2k (repete-se a base "e" e soma-se os expoentes)
Assim, temos que:
e^6k = 4/3 . 4/3 . 4/3
e^6k = 64/27
Assim, substituindo em V(6):
V(6) = 120.000 , 64/27
V(6) = 284.444,44
Agora, podemos encontrar o V(10), usando o mesmo raciocínio:
V(10) = A . e^k10
Onde,
A = 120.000
e^k10 = e^k2 . e^k2 . e^k2 . e^k2 . e^k2
e^k10 = 4/3 . 4/3 . 4/3 . 4/3 . 4/3
e^k10 = 1024/243
Assim, temos:
V(10) = 120.000 . 1024/243
V(10) = 505.679 (valor arredondado)