Question

Resolver exercício de integral dupla no intervalo de x entre 0 e 1 e y entre 0 e 1 x dydx

Answer 1

Calcular

$\displaystyle\iint\limits_{R}{x\,dy\,dx}$

sendo $R$ o retângulo $R=[0,\;1]\times[0,\;1].$


Como a região de integração é um retângulo, os extremos de integração são constantes. Em casos como este, a ordem de integração é irrelevante:

$\displaystyle\iint\limits_{R}{x\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dy\,dx\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{x\cdot (y)|_{0}^{1}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{x\cdot (1-0)\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{x\,dx}\\ \\ \\ =\left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}\\ \\ \\ =\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}$