Question

Na resolução de integrais triplas a superfície de integração pode trazer grande complicações para o calculo da integral

Answer 1

$f(x,\;y,\;z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Calcular

$\displaystyle\iiint\limits_{D}{f(x,\;y,\;z)\,d\mathbf{V}}$


sendo

$D=\{(x,\;y,\;z)\in\mathbb{R}^{3}\left|\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9\right.\}$


O sólido $D$ é o conjunto de pontos da região esférica descrita no enunciado.


$\bullet\;\;$ Mudança para coordenadas esféricas:

Vamos descrever um ponto $P(x,\;y,\;z)$ do espaço em coordenadas cartesianas em um novo sistema de coordenadas:

$\rho$ é a distância da origem até o ponto $\rho$
$\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

$\varphi$ é o ângulo medido do eixo $z$ positivo até o segmento $OP.$


Considere $OP'$ a projeção do segmento $OP$ sobre o plano $xy.$ O ângulo $\theta$ será o ãngulo medido do eixo $x$ positivo até o segmento $OP',$ no sentido anti-horário. (Este é o mesmo $\theta$ das coordenadas cilíndricas)


Expressando $x,$ $y$ e $z$ em função das novas coordenadas $\rho,$ $\varphi$ e $\theta,$ temos

$\begin{array}{cc} \left\{\begin{array}{l} x=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi\cos \theta\\ \\ y=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi\,\mathrm{sen\,}\theta\\ \\ z=\rho\cos\varphi \end{array} \right.~~&~~\begin{array}{c} 0\leq \theta\leq 2\pi\\ \\ 0\leq \varphi\leq \pi\\ \\ 0\leq \rho \leq 3 \end{array} \end{array}$


O módulo do Jacobiano desta transformação é

$|\text{Jac\,}\phi|=\rho^{2}\,\mathrm{sen\,}\varphi.$


A projeção da esfera sobre o plano $xy$ tem pontos nos quatro quadrantes. Por isso, $0\leq \theta \leq 2\pi.$

A esfera tem pontos acima do plano $xy$ e abaixo do plano $xy.$ Então, $z$ pode assumir qualquer sinal.


Rescrevendo a integral nas novas coordenadas, temos

$\displaystyle\iiint\limits_{D}{f(x,\;y,\;z)\,d\mathbf{V}}\\ \\ \\ =\iiint\limits_{D}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,d\mathbf{V}}\\ \\ \\ =\iiint\limits_{D_{\rho\theta\varphi}}{\rho\cdot |\text{Jac\,}\phi|\,d\rho\,d\varphi\,d\theta}$


Escrevendo os limites de integração,

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{3}{\rho\cdot |\text{Jac\,}\phi|\,d\rho\,d\varphi\,d\theta}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{3}{\rho\cdot \rho^{2}\,\mathrm{sen\,}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{3}{\rho^{3}\,\mathrm{sen\,}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\mathrm{sen\,}\varphi\cdot \left.\left(\dfrac{\rho^{4}}{4} \right )\right|_{0}^{3}d\varphi\,d\theta}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\mathrm{sen\,}\varphi\cdot \dfrac{3^{4}}{4}\,d\varphi\,d\theta}\\ \\ \\ =\dfrac{81}{4}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\mathrm{sen\,}\varphi\,d\varphi\,d\theta}$

$=\displaystyle\dfrac{81}{4}\int\limits_{0}^{2\pi}{(-\cos \varphi)|_{0}^{\pi}\,d\theta}\\ \\ \\ =\dfrac{81}{4}\int\limits_{0}^{2\pi}{(-\cos \pi+\cos 0)\,d\theta}\\ \\ \\ =\dfrac{81}{4}\int\limits_{0}^{2\pi}{(-(-1)+1)\,d\theta}\\ \\ \\ =\dfrac{81}{4}\int\limits_{0}^{2\pi}{2\,d\theta}\\ \\ \\ =\dfrac{81}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}{d\theta}\\ \\ \\ =\dfrac{81}{2}\cdot (2\pi-0)\\ \\ \\ =81\pi$