Question

Sendo o tetraedro regular ABCD, forma-se um poliedro EFGHIL, em que esses pontos são, respectivamente,
os pontos médios dos lados AB, AC, AD, BC, BD e CD.
A razão entre os volumes do poliedro EFGHIL formado e o tetraedro ABCD é:
1 A)
8
1
2
3
8
B) 1
8
1
2
3
8
1 C)
8
1
2
3
8
D) 2

Answer 1

As alternativas são:

$a) \frac{1}{8}$
$b) \frac{3}{8}$
$c) \frac{1}{2}$
d) 2

Vamos chamar de l a medida do lado do tetraedro regular ABCD.

A altura de um tetraedro regular é igual a $h= \frac{l \sqrt{6} }{3}$ e o volume é igual a $V = \frac{1}{3}A_b.h$, sendo Ab a área da base.

Como é um tetraedro regular, então a sua base é um triângulo equilátero e, portanto, a área é igual a: $A_b = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.

Logo, o volume do tetraedro ABCD é igual a:

$V'= \frac{1}{3}. \frac{l^2\sqrt{3}}{4}. \frac{l\sqrt{6}}{3}$
$V'= \frac{l^3\sqrt{3}}{12}$

Observe que o poliedro formado pelos pontos médios das arestas de ABCD é um octaedro.

Perceba também que foram formados 4 tetraedros de lados $\frac{l}{2}$.

Portanto, o volume do octaedro EFGHIL é igual a:

$V"= \frac{l^3\sqrt{2}}{12} -4. \frac{1}{3} . \frac{l^2\sqrt{3}}{16} . \frac{l\sqrt{6}}{6}$
$V"= \frac{l^3\sqrt{2}}{12} -4. \frac{l^3\sqrt{2}}{24}$
$V"= \frac{l^3\sqrt{2}}{24}$

Portanto, a razão entre V" e V' é igual a:

$\frac{V"}{V'}= \frac{l^3\sqrt{2}}{24}. \frac{12}{l^3\sqrt{2}}$
$\frac{V"}{V'} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Alternativa correta: letra c)