Question

Imagem e Periodo da funçao f(x)= 2sen2x ?

Answer 1

Para qualquer arco $\alpha\in \mathbb{R},$ temos que

$-1\leq \mathrm{sen}(\alpha)\leq 1.$


$\bullet\;\;$ Então, para $\alpha=2x,$ segue que

$-1\leq \mathrm{sen}(2x)\leq 1$


Multiplicando todos os membros da desigualdade por $2,$ obtemos

$-2\leq 2\,\mathrm{sen}(2x)\leq 2\\ \\ -2\leq f(x)\leq 2$


Da última desigualdade acima, concluímos que o conjunto imagem da função é

$\text{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R}\left|\,-2\leq y\leq 2\right.\}$


$\bullet\;\;$ O período fundamental da função

$g(x)=\mathrm{sen}(\omegax)$

é dado por $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}\;\;\;\;\;(\omega \neq 0).$


Logo, para $g(x)=\mathrm{sen}(2x),$

$\omega=2\;\;\Rightarrow\;\;T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$


A função $f$ é duas vezes a função $g.$ Logo, $f$ e $g$ têm o mesmo período. O período de $f$ é

$T=\pi.$