Question

2) Calcular a integral:
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Answer 1

Resposta: A  = √5 – 1.

$A=\displaystyle\int^2_0\dfrac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}$

Integrando por substituição, façamos u = √(x² + 1), onde:

$\dfrac{du}{dx}=u'~\Rightarrow~(\sqrt{x^2+1})'~\Leftrightarrow~\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Ou seja, escolhemos a variável auxiliar ''u'' para √(x² + 1) e a derivamos em relação a antiga variável ''x'' (bastou usar a regra da cadeia). Assim temos:

$\dfrac{du}{dx}=u'~\Rightarrow~dx=\dfrac{1}{u'}du$

Desse modo, substitua tudo na integral indefinida:

$\text{ \displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx~\Rightarrow~\displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{1}{u'}du~\Rightarrow~\displaystyle\int\dfrac{xdu}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}} }$

$\text{ \displaystyle\int\dfrac{\cancel{x}du}{\cancel{\sqrt{x^2+1}}}\cdot\dfrac{\cancel{\sqrt{x^2+1}}}{\cancel{x}}~\Rightarrow~\displaystyle\int1du=u=\sqrt{x^2+1} }$

Agora para calcular integral definida, use os limites dados de integração:

$\displaystyle\int^2_0\sqrt{x^2+1}$

Pela Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se que $\footnotesize\displaystyle\int^b_af(x)=f(b)-f(a)$, então:

$\displaystyle\int^2_0\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2^2+1}-\sqrt{0^2+1}=\sqrt{4+1}-\sqrt{1}=\sqrt{5}-1$

PORTANTO:

$A=\displaystyle\int^2_0\dfrac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{5}-1$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.